Állami főreáliskola, Debrecen, 1880
16 mennyiségeket különválasztva, az egész sort valós és képzetes menynyiségek összegére bonthatjuk fel ezen minta szerint: a+br=T E szerint lesz a képletünk: - ^h- ,,-3, a 4- 1; 0X5.T a f i +• • • •) + + ( a — lX3 a i+ T72.XT.~5 a — ....) i Ila e sort figyelemmel megtekintjük, azt találjuk, hogy az értéket képviselő tag sorozatok valamely a szög Sinusát és Cosinusát fejezik ki, vagy azt mondhatjuk, hogy ezek által fejezhető ki valamely * szög Sinusának ós Cosinusának értéke. Ezt ugyan még be nem bizonyítottuk, de ha feltételesen megengedjük magunknak a sort igy tekinthetni, ugy a következendőkben a feltétel igazságát is bebizonyíthatjuk. Tehát legyen: a helyett a-t téve: Cos « = 1 — o g a+ i. 2?3 .r a 4~ Sin a = (a -tJj * 5- ) A honnan jogosan Írhatjuk : e"' aV 1 = Cos a ±Sinayrzif Mely egyenlet x-nek minden valós értékére nézve általánosan érvényes. Ha ezen egyenlet baloldala egy ugyanilyen alakú kifejezéssel szoroztatik, akkor nyerjük: (Cos a + Sim a V-\). (Cos 3 + Sin 3 t) =' =Cos a Cos ,3 — Sin a Sin 3 -+- (Sin a Cos 3 + Cos 2 Sin 3) Y—1= = Cos (j«4- 3) 4- Sim (a + 3) V-T Ha nem két, hanem több ily tényezőt szorzunk egymással, eredményül mindég két tagu kifejezést nyerünk, ugy hogy mondhatjuk, ha a = 3 stb., és a szorzók száma 11: (Cos a + V— l Sin a)" = Cos 11 a 4- V—l Sin n a Ha + a helyett — a-t teszünk, akkor miután : Cos ( — a ) = Cos a, és: Sin ( — a ) = — Sin a leend : (Cos a — V—í Sin a)" == Cos na— \/—í Sin n a. Vagy egész általánosságban :
