Állami főreáliskola, Debrecen, 1880
14 Mint fentebb jelezve volt: a sor értéke x változó meghatározásától függvén, ugy tekinthető, mint az x függvénye. Ha ezen elvet kellőleg méltatjuk, akkor áll a következő egyenletünk : f (x) = u 0+u, x + u. 2 x 2+. . . u„x" + .. . Egy függvénynek egy vele egyenlő értékű sor által való kifejezését, a függvény kifejtésének szokták nevezni, és az egyenlet x-nek mindazon értékeire nézve érvényes, melyek a fentebb jelzett határok között feküsznek. A következőkben lássuk a függvények sorba fejtését. a) A binomiális sor. Tudjuk az elemi mennyiségtanból, hogy (a-f-b)-nek positiv egész n-edik hatványát általánosan igy terjesztjük elő: (a+b)" = a"+ j a"1 b + ^ a""V+ ^-'H^L a.-« b3 +íi< < n (T.2. 3:I.Tr +1) a°~ r b r 4-... b". Ha az egyenletet a"-el elosztjuk és b helyett x-et teszünk, nyerjük : (1 +x)"=l + nx + B^. x 2-f- n !"7^_Jz!L + ... , nín-l) •• .. (n-r+1) , , n • • * ^ 1.2.3....r X ' ' X E sor összetartó lesz, ha például az r-edik tagon tul levő tag sor összege, vagyis a sor maradéka elenyészik, ez pedig csak ugy lehet, ha x<-l, mert csak igy lehetséges, hogy a hatvány folytonos növekedése mellett az x értékét jelentő, az egységnél kisebb tört mennyiség nevezője végtelenül növekedvén, végre a hatvány maga nullá enyészik el; a mikor a maradék tagok a null szorzó mellett magok is nullokká válnak. Ha x egyenlő az egységgel, akkor i-|- n-f- D í" _1 ) 1- n(u_1) ( a~ 2 > L1.2 1.2.3. ' ' mely egyenlet jobb oldalán álló tagok Newton-féle együtthatóknak neveztetnek. b) Moivre képlete. Egy hatványjeli egyenletet Newton kéttagi törvénye szerint leszármaztatva és levezetve, általánosan következőleg állithatunk elő:
