Állami főreáliskola, Debrecen, 1880
11 n-edik tagon túl levő tagok összege, az n folytonos növekedése mellett, eltűnjék, vagyis ha az n-edik tagon túl levő tagok összege M, ak k° r lim (M n) u _ oo = 0. legyen. Láttuk azonban azt is, hogy q<-1 azaz q kisebb volt az egységnél. Ebből világosan következtethetjük azon feltételt, hogy: egy mértani sor összetartó akkor, ha a hányadosnak értéke az egységnél kisebb. Legyen egy tetszőleges végtelen sor : u, + u 2+u,4- u B+ u n+ 1-+-.. . oszszunk minden tagot az előzővel, például Unf l Un+2 U» ' "n+1 tegyük fel hogy: u„ akkor n-nek végtelen növekedése mellett a hányados egy bizonyos határhoz közeledik, a mely kisebb az egységnél, azaz: lim-^-c 1 u„ Ezen esetben tehát mondhatjuk: hogy egy végtelen sorban minden tag osztva az előző taggal, valamelyik tagtól kezdve az egységnél kisebb hányadost ád, akkor a sor összetartó. Ha azonban: lim " + 1 > 1 Un akkor a hányados valamelyik tagtól kezdve nagyobb lesz az egységnél, és a sor ez esetben széttartó leend. Legyen például adva ezen sor: J_ 1 1 1 1 + 1 h 1.2 +T7273T + 1.2.3..... (n—l) + 1.2.3 n Ezen sorban, ha az n+l-edik tagot (u n+ 1), osztjuk az n-edik taggal (u n) leend U„+1 _ 1 1 1 [1-2.3 (n-1) ] 1 u n 1.2.3..(n—l)n" 1.2.3...(n—1) 1 fi 2.3 (n—l).n] n U n+ 1 1 innen — u„ n ha lim — — o <i 1
