Állami főreáliskola, Debrecen, 1880

12 akkor látni való, hogy az n-edik tagon túl levő tagok eltűnnek, és a sor összetartó. Vegyünk fel két tetszőleges sort, melyekben a tagok positiv előjellel birnak, és a melyek azonkívül még összetartok is legyenek, például: S u, + u.

i + u

3 + . . . . S, =v

l + v.

i+v

t + .. . . adjuk össze, vagy vonjuk le egymásból ezen két sort, akkor nyerjük: S+S, (u, ±v, ) + (u,±vJ + (U3ÍV3) +...-. Mivel a felvett sorok összetartok, következik, hogy az n-edik tagon túl levő tagok összege, vagyis a sor maradéka, mindeniknél eltűnik, azaz: M

n±M'

n= 0 ez esetben pedig a nyert sor is összetartó lesz. Tehát két positiv és összetartó sor összevonása által, szintén összetartó sort nyerünk. Vizsgáljuk meg a következő sort: S u, — Uj 4- 11, — u

4 +. . . . és tegyük fel, hogy a sor ugy van alkotva, hogy minden következő tag kisebb mint az előtte álló. A felvett sort Írhatjuk igy is : S = u, — (u.

4— u,) — (u

4 — n.) . . . Ezen sorban a tagok negatív előjellel birnak, az első tag kivételével, és igy szükségképpen S<u, Ha pedig a felvett sort igy írjuk: S = (u, — u,) + (u, —u

4) + akkor, mivel minden tag kisebb az előtte lévőnél, világos hogy a zárjelben levő tagok lényegesen positivok lesznek, és igy a sor összege is nagyobb lesz az első tagnál, azaz S>u, —u. Az elmondottakból kitetszik, hogy a sor összegének értéke u, és u, — u.

2 között esik, azaz vagy kisebb u, -nél, vagy nagyobb u, — u

2 -nél. Tehát ha egy végtelen sorban a tagok folytonosan kisebbednek, azonkívül, liogy az előjelek folyton váltakoznak, akkor a végtelen sor összetartó. Vannak még olyan sorok is, melyeknek tagjai egy x mennyiség növekedő egész számú hatványait tartalmazzák, tehát ilyen alakkal birnak :