Református főgimnázium, Debrecen, 1909

11 egyenlőközü vonalé — anűt Gauss hiperciklusnak nevezett el — kisebb, mint — végre a köré nagvobb k; kEgy L vonal s két parallel közti sáv területe - - ks, hol s az L vonal hossza.

1 Az eddigieket összefoglalva látjuk, hogy Bolyai az V posztulatum elvetésével egy új geometriához jutott, mely sok tekintetben még érdekesebb, szebb, mint az euklidesi geometria. Ezen a Bolyai elnevezése szerint abszolút geom.-ban az egyenes fogalmának az L vonal, a síknak az F felület felel meg. Első pillanatra az V posztulatumban való kételkedés talán érthetetlennek tűnik fel, mivel az euklidesi geometriához hozzá vagyunk szokva, de azt hiszem, a Bolyai gondolatának nagyszerűségét az eredmények, az F felület geometriája, s annak tételei maguk is mutatják. De hogy jobban megbarátkozzunk az ilyen gondolatokkal, még egy geometriát mutatok be, a Biemann-félét. Biemann elvetette a fent említett VI posztulatumot is, t. i.: „2 egyenes nem zár be területet." így jutott az u. n. véges tér geom.-jához: ami nagyjában a gömb geometriájával egyezik meg. Itt az egyeneseknek a legnagyobb gömbkörök felelnek meg. Két ponton át általában csak egy legnagyobb gömbkör rajzolható, de ha a két pontot a gömb két sarkába visszük, akkor sok legn. gömbkör megy rajtuk keresztül (t. i. a délkörök). S két ilyen, legnagyobb gömbkör zár is be területet. A gömbháromszögtan is független az V posztulatumtól [1. az Appendix 26. §-a], itt a szögek összege nagyobb 180°-nál. Sőt igen szépen látjuk, hogy az egyenlőközü vonal nem egyenes, ha ugyanis az egyenlítőhöz rajzolunk ily vonalakat, azok a szélességi körök lesznek, melyek nem legnagyobb gömbkörök, tehát nem felelnek meg az egyenesnek. A Bolyai neve soká ismeretlen volt. Gauss sem ismertette, bár ezt írja egy levelében róla:

2 „Én ezen fiatal mértantudóst, Bolyait elsőrendű lángésznek tartom." — Azzal menti magát,

3 hogy „a legtöbb embernek nincs helyes érzéke az ilyesmire, amiről itt szó van." [T. i. az Appendixben, mert Bolyai Farkas 1 Frischauf: i. m. H8. fej. 2 Ich halló diosen jungen Geometer v. Bolyai fiir ein Cienie erster Grösse. Levele Gerlinghez. Gauss—Bolyai levelezési'. 192. 1. 3 Levele B. Farkashoz. Gauss—Bolyai levelezése. 109. 1.