Református főgimnázium, Debrecen, 1909

10 egy síkkal való metszését pedig L vonalnak. Gauss Bolyai Faikashoz írt levelében paraszférának, illetve paraciklusnak nevezi el ezeket.

1 Az F felület nem más, mint oly gömb, melynek középpotja a végtelenben van. Az L vonal pedig szintén ilyen végtelen sugarú kör. Ezen az F felületen, paraszférán az euklidesi geom. érvényes, na az egyeneseket L vonalakkal helyettesítjük. Még végül nehánv tételt sorolok fel az eddig említettekhez. Két nem metsző egyenes közeledik egymáshoz s azután távolodik, tehát egyszer legkisebb lesz a távolságuk. (A közös normális.)

2 Az egész egyenesnek — mely, mint fentebb említettem, zárt — hossza kiri. A hasonlóságnak ezen geom.-ban nincs értelme. A háromszög területe függ a szögek összegének 180°-tól való külömbségétöl. Van olyan háromszög is, melyben a szögek összege = 0. Ha azonban nagyon kicsiny a háromszög, akkor a szögek összege = 180°. Tehát — amint fent már említettem — végLelen kis síkrészben érvényes az Euklides-féle geometria. Az egyenes végtelen pontjai még itt egyszemübbek.

3 Az euklidesi geom.-ban az egyenesnek csak egy végtelen pontja van. a Bolyai geometriában 2. a két határpont. A síkban a határpontok összesége egy kört, a térben gömböt alkot. Mert az a vonal (v. felület), melyet minden egyenes két pontban metsz : kör (v. gömb). [Általában másodfokú görbe v. felület.] Az euklidesi geometriában a végtelen pontok csak egyenest, illetve síkot alkothatnak, mert az a vonal (v. felület), melyet egy egyenes csak egy pontban metsz, csak egyenes (illetve sík) lehet. L' 5! Két L vonalnak viszonya csak a távolságtól függ. — = e k. Íj 7T Az egyenlőközü vonal kör, melynek sugara a ^ki, hol _a az állandó távolság, köz.

5 Az egyenes görbülete 0; az L vonalé, paraciklus-é y az 1 Stackel: Gauss Bolyai levelezése XXXV. 110. lap. 2 L.: Vörös Cyrill, Analytikus B.-féle geom. 2. §. —5. lap. 3 Frischauf: Elemente d. Abs. geóinetrie. 40. fpjezet, 4 Frischauf: i. m. 40. fej. 5 Frischauf: i. in. 79. fej.