Református főgimnázium, Debrecen, 1909

9 hol u a parallela szög, x az AG távolság, a k pedig a Bolvai-féle geometriának állandója. Mikor erre a remek tételre eljutott Bolyai János, akkor írta atyjának azon híres levelet,

1 1823 nov. 3-án: „a feltételem már áll. hogy mihelyt rendbe szedem, elkészítem 's mód leszsz, a' parallelákról egy munkát adok ki, ebbe' a pillanatba nincs kitalálva, de az az út, melyen mentem, csaknem bizonyosan ígérte a tzél elérését, ha az egyaránt lehetséges; nincs meg, de olyan felséges dolgokat hoztam ki. hogy magam elbámultam 's örökös kár volna elveszni; ha meglátja Édes Apám, megesmeri; most többet nem szóllhatok, csak annyit: hogy semmiből egy új másvilágot teremtettem Mindjárt most megemlítem, hogy e fenti képletből világosan x u látszik, hogy ha y — o, akkor e° = 1. tehát ^ — 45°, vagyis K LL u — 90°, szóval ezen esetben az V. posztulatum igaz. Ez pedig két esetben következhetik be: 1, ha x — o, vagyis ha a két parallel végtelen közel van egymáshoz, vagyis végtelen kis térrészben az euklidesi geom. érvényes; 2, ha k végtelen nagy. Tehát a Bolyai-féle geometria magában foglalja speciális esetképen az Euklides-féle geometriát. A kezdett úton haladva még sok szép eredményre jutott Bolyai. Két parallelhez AH, BH-hoz mindig rajzolható (3 rajz) egy olyan vonal, AB, amely a 2. parallel-lel egyenlő szögeket alkot, az ilyen vonalat Beke szögegyenlitönek nevezte el. Ha most az AH-hoz az összes paralleleket megrajzolom^ mindenikhez megszerkesztem a szögegyenlítőt, ezeknek metszéspontjai egy felületen fognak feküdni, amelyet Bolyai F felületnek nevezett el. Ezen felületnek I vonal 1 Schlesinger: B. János. Math. Fiz, lapok 1903.