V. kerületi magy. kir. állami Bólyai főreáliskola, Budapest, 1921

III. Gáspár Pár: Bolyai Farkas és Bolyai János

13

nig meghosszabbítható; 3. minden pont körül akármekkora sugárral kör húzható; 4. az összes derékszögek egyenlők egymással; 5. ha két egyenest egy harmadik úgy metsz, hogy 'ugyanazon az oldalon a két belső szög összegé kisebb két derékszögnél, akkor, ha a' két egyenest ezen az oldalon eléggé meghosszabbítjuk',, azok metszik egymást. Már az első olvasásra is feltűnő, hogy az 5. követelmény hosszú fogalma zás ú, ellentétben az első néggyel, amelyek rövidek és könnyen érthetők.

Végre jönnek a sark igazságok, az axiómák, vagyis olyan tételek, amelyeknek igazságát minden bizonyítás nélkül azonnal látni lehet; sőt bizonyítani nem is lehet mert minden bizonyítási kísérlet csak homályt terjeszt. Ezek: 1. Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők; 2. ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk, az összegek rs egyenlőek lesznek; 3. ha! egyenlőkből egyenlőket kivonunk, a maradékok is egyenlőek leszneb;- y. amik egymásra esnek, egyenlők' egymássáij 8. az egész nagyobb, mint a része; 9. két egyenes nem zár be területet.

Ezen 23 meghatározáson, 5 követelményen és 9 sarkigazságon építi fel Euklides az egész geometriát. Ha tehát az alapok helyesek, akkor a jól felépített geometria is helyes lesz'; ha pedig az alapok nem helyesek, a geometria sem logikus. A tudósok tehát a legnagyobb lelkiismeretességgel tanulmányozták ezeket az alapokat: nincs-e bennük valami,’ ami1 helytelen vagy minden axióma'» sarkigaZság-e, azaz magától evidens-e?

A legtöbb vitatárgya az 5. követelmény és a 23. meghatározás volt, amely utóbbi így hangzik: <-Azok az Ugyanabban a síkban fekvő egyenesek párhuzamosak, melyek seholsem találkoznak, bár ha mindkét végükön liatárlalanúl hosszabbítjuk is meg őket.»

Kr. e. az 1. században már Geminos is hibásnak tartja ezt a meghatározást. mert hiszen a hiperbolái és az assymptotája is csak a végtelenben találkoznak s mégsem mondhatók párhuzamosaknak. Egy másik tudós tehát, Posidonius, úgy határozta meg ai párhuzamosakat, hogy <az egymástól mindig egyenlő távolságban lévő egyenesek párhuzamosak.» Ez az új fogalmazás azonban ismét valami újat tételez fel; azt t. í., hogy egy egyenestől egyenlő távolságban lévő pontok1 újra egyenest határoznak nieg. A párhuzamosságnak euklidesi fogalmazásából1 következik, hogy a háromszög szögeinek összege éipen 180°. Akii csak egy kissé is járatos jal geometriában, az tudja, hogy' csaknem az egész síkgeometria ezen épüli lel, főleg pedig a trigonometria csak olyan háromszögekre érvényes, amelyekben a szögek összege 180°. Ez az oka, hogy a gömbháromszögnek külön trigonometriája van. Látjuk tehát, hogy minden attól függ: bebizonyítható-e az 5. követelmény, vagy nem, mert hogy' bizonyításra szorul, az előbbiekből látható.

A legkiválóbb tudósok fogtak tehát hozzá, hogy az 5. követelményt bebizonyítsák.

Ptolomeus. Proclus, aZ arab AI-Niziri, majd' a középkorban Com- mandino, Clavio, Cataldi, Borelli, azf olasz Giordano Vitale, az angol Wallis és a kiváló mathematikusok hosszú sora után Pater Saccherij, Lambert. D'Alembert, Lagrange, Legendre és még sokan mások sikertelenül próbálkoztak a nagy feladattal. A legjobbak között foglal helyet Bolyai - Farkas, aki 1804-ben «Theoria paralfelarum > c. művében próbálja) bebizonyítani az 5. követelményt; a művet meg is küldi Gaussnak, de ez a próbálkozás is csak kísérlet maradt. A gondos atya a mathematika