Evangélikus Gimnázium, Budapest, 1909
63 oldalai sorban: y0, yt, yt, y3,..., y„-i és a vízszintes oldal pedig Ax, akkor a terület T — lim {yüAx-\-ylAxJí------\-y„-iAx), Ja.?=0 vagy rövidebben T = lim 2' y. dx. Jx=0 Minthogy ugyanerről a területről már is megmutattuk, hogy egy integrállal egyenlő, ennélfogva b lim I y . dx = ) y . dx. _'a?=0 ‘ á Világos az is, hogy a baloldali ordinata helyett a jobboldali vagy akármelyik közbeeső ordinátát is választhattuk volna, sőt az sem szükséges, hogy a téglalapok vízszintes oldalai mind egyenlők legyenek. A feltétel csak az, hogy ezek a Ax-ék a 0 felé konvergáljanak, ha a tagok száma minden határon túl nő. A nyert egyenletnek a területszámítás problémáján messze túlmenő fontossága van. Azt az útat, amelyen idáig jutottunk úgy tekinthetjük, mint esetlegességet. A magas csúcsról nemcsak azt az útat láthatni, amelyiken tényleg a csúcsra jutottunk, hanem a többi lehetséges útakat is mind. A területszámítás az esetleges út, a nyert egyenlet a magas csúcs. Ehhez az egyenlethez még sok egyéb úton is eljuthattunk volna. Ha valaki kőhidat akar építeni, akkor az egész hídnak vázát megcsinálja fából és erre rakja a nagy kőkockákat. Amint a híd fel van építve, a faállványt el lehet venni: a kőhíd nem dűl össze, hanem áll sziklaszilárdan. A kőhíd a lényeges, a faállvány az esetleges. Hasonló helyzetben vagyunk a jelen esetben. A területszámítás a faállvány, a nyert egyenlet a kőhíd, amely akkor is megáll, ha a területszámítás faállványát el is vesszük alóla. A gyakorlati életben igen sokszor kell a megelőzőhöz hasonló összegek határértékét kiszámítani. Minthogy a tagok számának minden határon túl való növekedésével minden egyes tag a 0-hoz közeledik, azért azt is szokás mondani, hogy végtelen sok végtelen kicsiny tag összegének kiszámításáról van szó. Az f{x).Ax alakú végtelen sok végtelen kicsiny tag összege egy határhoz közeledik, amelyet úgy lehet megkapni,
