Evangélikus Gimnázium, Budapest, 1909

35

hányadost, az eredeti függvényt és a második differenciálhányadost.

Ábránkból láthatjuk, hogy ha a függvény maximális értéket vesz fel, akkor a függvény görbéje először emelkedik, azután esik; a differenciálhányados pozitívból lesz negatívvá, a differenciálhányados görbéje x-nek megfelelő értékénél esik s így a második differenciálhányadosnak e helyen negatívnak kell lennie. Ha pedig a függvény minimális értéket vesz fel, akkor a függvényt ábrázoló görbe először esik, azután emelkedik; a differenciálhányados negatívból lesz pozitívvá, a differenciálhányadost ábrázoló görbe ,x-nek megfelelő értékénél emelkedik s így a második differenciálhányadosnak e helyen pozitívnak kell lennie. Mondhatjuk tehát:

1. A függvény x-nek ama értékénél veszi fel a maximális értékét, melynél az első differenciálhányados nullával egyenlő és egyúttal a második differenciálhányados negativ.

2. A függvény x-nek ama értékénél veszi fel minimális értékét, melynél az első differenciálhányados nullával egyenlő és egyúttal a második differenciálhányados pozitív.

Megtörténhetik azonban, hogy .x-nek egy bizonyos értékénél úgy az első, mint a második differenciálhányados is eltűnik. Ez esetben az eddigiek alapján nem dönthetjük el, hogy a függvénynek e helyen van-e eminens értéke. Példáinkban ilyen esettel nem fogunk találkozni.

Ezek alapján lássunk ismét néhány példát.

1. y = x2+ x + 1. y' = 2x + 1. y' = 0, ha x — — §

y"= 2 > 0, tehát a függvénynek minimuma van:

2.

3.

y =- + I

y' — —1^ + 2 y' — 0. ha x = 3

y"— — § < 0, a függvénynek maximuma van :

2/max = /(3) = —3 + 6+ |= 5|.

y = 2a;8 + oa?2 + 4x + l

y' = 6.x2 + lOx + 4

3*