Evangélikus Gimnázium, Budapest, 1909

tag differenciálhányadosa egyenlő nullával. Határozzuk meg ezek után még néhány egyszerű függvény differenciálhányadosát.

1. Ha y=xn hatványmennyiség differenciálhányadosát akarjuk meghatározni, akkor — ha n pozitív egész szám — így járhatunk el:

Ay _ {x-\-h)n—xn _ (x+h)n—xn Ax h (x+li)—x

Ismeretes, hogy (x-\-h)n—xn

{x-\-h)—x

= (£C+/i)n-1'+(.x+/í)n-2 .x+(x+Ji)n~ax^-----H

+

(íc+/)-)2. xn~3 +(xJrh). a'"-2 -\-xn~x. Ha most áttérünk a határra, akkor Au

lim =xn 1 -j-a?’1-2. x-\-xn~3. -----1J

so=0 Ax

x* . xn~3 -\-x. xn~i +.T”-1 =nxn~1

s így

y'= nxn~l.

Ay

Ax

1

x h Ennélfogva

—) = h = x /

y = *■

x—x—h __ -h _ x (x+h). h X (x -\-h)h x (x+h)

•1

y =

í

a’2

Minthogy a di ffere11ciá 1 h ányados íc-nek minden értékénél negativ, azért a megadott függvény állandóan fogy, a megfelelő görbe állandóan esik.

De a megadott függvény és ennek differenciálhányadosa így is írható:

y = a?-1, y'= — 1. a?-2.

S így látjuk, hogy a negativ kitevőjű hatványmennyiség differenciálhányadosát is úgy számítjuk ki, hogy a hatványmennyiség együtthatóját szorozzuk a kitevővel, új kitevőül pedig írjuk az eggyel kisebbített régit. E tételt bizonyítás nélkül elfogadjuk általánosan.