Evangélikus gimnázium, Budapest, 1886

25

Ez az alak az, melyet az átalános vizsgálatnál f {n)-e 1 jelöltünk, s mely érvényes is n = 4 értékig; de azontúl igaz marad-e, senki sem mondhatná bizonyossággal, különösen a tétel keresésének stádiumában.

Feltételezzük azonban azt, hogy

Un+Í = Un (X + űn+l)

Itt helyettesítve un hypothetikus értékét és elvégezve a szorzást

Wn+l = Xn + 1 + (C* + an+1) + (Cg + «n+1 Cj) £“_1 + (CJ +

+ ön+1 C”_j) 't+1 +

...........+ tf„+l C"

De a legelemibb szemléleten alapuló meggondolás arra tanít, hogy

E kifejezést úgy is nyerhettük volna az íí(i-re vonatkozóból, ha ?i helyébe (n + 1) Íratott volna. Ha tehát utl = f{u) ügy biztosan mondhatjuk un+í = f(n + 1). így alapítottuk meg az un és un+1 közti szigorú analógiát s az un hypothetikus alakjában ily formán apodicticus igazság van kifejezve. Érvényes u. i. ezen alak n = 4 értékig, de akkor n + 1 = 5 értékre és (rí + 1) + 1=0 értékre is stb.

A binomiális tételnek egész számú hatványkitevőre való átalános bebizonyítása ép ily menetű, csakhogy a szorzókat utólag egyenlőkké teszszük, ami azáltal történik, hogy az vn kifejezésében

a1 = a2 = a3—___an = a teendő. Lehet azonban ügy is eljárni,

hogy mielőtt az n-ről (n + l)-re való következtetés megtörténnék, térünk át az íírk egyenlővé tétele által hatvány mennyiségre és az így nyert hypothetikus kifejezést teszszük végérvényessé az induc- tiónak í?-ről (?? + 1 )-re következtetéssel való befejezése által.

Ezen úgy nevezett teljes inductió köre azonban túl megy a legelemibb vizsgálatokon és az infmitesimális számítás problémainál is szeiepet visz — mert hisz ezek között is igen sok van, melyek át alánosán inductióval alapíttattak meg.

Tegyük föl, hogy

y = uv, hol

u = (f (x) és v — ip (x) mely <p {x) és ip (x) függvények valamint differentialis quotienseik bizonyos határok közt egymás után íz-szer differentiálhatók, vagyis a. differential