Evangélikus gimnázium, Budapest, 1886
19 úgy az (n + 1)-ik összeadandó an+1 (n + 1) számú különböző helyen állhat. — Ha an+i az utolsó vagy első helyre tétetik, u. a. eredmény jő ki. Ennek kimutatására a1 ........an összeadandókat összeggé egye sítve kell gondolnunk. Ilyformán csak azt az esetet kell vizsgálnunk, ha a„+i bármely más helyet foglal el az n számú összeadan- dók között. Ez esetet azonban visszavezethetni három összeadandó összegezésére az által, hogy az an+rt megelőző összeadandókat egy (f, az an+ i-t követőket pedig p összegbe olvasztjuk össze. így az (?? + 1) összeadandó összege következőkép írható <P + dn+1 + P E három összeadandó összege pedig nem függ a sorrendtől, s így <p + an+1 + tp = an+1 + oP + p = <p + <p -j- an+1 ebből következik, hogy az (?? + l)-ik összeadandó is az összeg megváltozása nélkül az n összeadandó közt tetszőleges helyet foglalhat el. Ha tehát állításunk n összeadandóra érvényes, úgy érvényes az (n + 1) számú összeadandóra is. De mert a commutativitas érvényes 2, 3 összeadandó^, úgy érvényes 3 + 1=4 s ilyenformán 4 + 1 = 5 stb. összeadandóra. Tételünk érvényességi köre azonban, valamint későbbi vizsgálatainké is csak a véges n-1 öleli fel; mert hisz véges számról a végtelenre az átmenet nem olyan, mint r?-ről (n + l)-re. Ha tehát pl. a commutativitást véges összeadandókra inducaltuk és deductióval kétségkiviilivé tettük, helyessége még nincs végérvényesen kimutatva végtelen sok összeadandó esetére. E tény a feladat természetéből is már következtethető; de mégis kikerülte több századon át a tudósok figyelmét. Dirichlet oldotta meg e kérdést véglegesen, fölállítván a föltétien couvergentia föltételét, vagyis azon ismertető jelet, mely mellett a végtelen sor összege tagjainak elrendezésétől független. Azt gondolom, hogy nem lesz érdektelen az általa fölhozott példát bemutatnom, melylyel ő még a múlt század tudósainak is nem egy tételük igazságában való meggyőződését megrendítette volna. Dirichlet vizsgálata tárgyává a váltakozó előjelű legegyszerűbb alakú harmonikus sort tette : \____1 1 _J_,J____i_ _1____1_ 1 * “ T á + T 4 + 5 1)7 ~8+~9 ........ 2*
