II. kerületi állami főreáliskola, Budapest, 1913
Dr. Kresznerics Károly: Az egész számok elmélete
38 relatív prímszámok közül az egyik páros és a másik ekkor x = a2 — b2, y = 2 ab és az páratlan* egyenletből (x + 5j/)2 = x2+/ = z2 z = x -f- § y = a2 + b2. Tehát egyenletünk teljes megoldása: x = a2 — b2, y = 2 a b, z = a2-\- b2, ahol a és b relatív prímszámok és az egyik páros, a másik páratlan. Példa. Legyen a = 4, b — 3, akkor x — 7, y = 24, z = 25 Pythagorasi számok, mert P -f 24^ = 25á. Kérdés, vannak-e egymásután következő Pythagorasi számok? Egy hármas csoportot (3,4,5) már Pythagoras is ismert. Kimutatjuk, hogy ezen kívül más hármas csoport nincsen. Legyen a három egymásután következő szám x—l,x,x-j-1. Az (x— 1)'2 + *2 = (x+l)2 egyenlet megoldása x = 0és4; eszerint két hármas csoportot kapunk: (—1,0,1) és (3,4,5), azonban az első triviális eset*, a másik a fentemlített számok. b) Tökéletes szám az olyan szám, amely osztóinak összegével egyenlő (ha az osztók közé nem számítjuk magát a számot). Tehát 2 {n) — n — n vagy 2 (n) = 2 n ahol 2 (n) jelenti n osztóinak összegét. Az ismeretes tökéletes számokat a 2n~x (2n — 1) kifejezés adja, ha 2"— 1 prímszám. Mert ekkor 2"-1(2"— í) osztóinak összege (magát a számot is beleértve) (32. oldal.): 2n — 1 (2/l — l)2 — 1 JZZJ ~2* _ i) _ i = (2n - 1) (2” - 1 + 1) = 2« (2n - 1) = 2.2n~l (2n — 1)
