II. kerületi állami főreáliskola, Budapest, 1913

Dr. Kresznerics Károly: Az egész számok elmélete

26

szerint pn csupán 2-vel osztható, holott az 1) segédtétel szerint pn osztható 2"-vel (2n > 2). Helyes következtetéssel helytelen eredményre jutottunk, tehát kiindulópontunk hibás, vagyis \/2 törtszámot sem jelenthet. \/2 úgynevezett irracionális szám.

5. Ha a b osztható c-vel és a szorzat a tényezője relatív prím c-hez, akkor a szorzat másik tényezője b osztható c-vel.*)

Feltevésünk szerint (a,c) = 1 és ab osztható c-vel, vagyis

(a b,c)=c;

ámde a szorzatból a relatív prímtényezőt elhagyhatjuk, vagyis

(a b, c) = (b, c)

s így

(b, c) = c

tehát b osztható c-vel.

Általánosítás : ha c az a1 a2... an-x an szorzatot osztja s annak (n — 1) tényezőjéhez ax, a.,,..., an_x-hez relatív prím, akkor c az an-t osztja.

A szorzat osztható c-vel, ezért

(a"L a.>... a,,—^ an, c) c,

de a szorzatból a c-hez prímtényezőket elhagyhatjuk s így

(öl «2 • • • an-1 am c) = (an, c),

tehát

(an, c) = c

vagyis an osztható c-vel.

Különös eset: a1a.,...an szorzat akkor és csak akkor osztható p törzsszámmal, ha egyik tényezője osztható p-vel. Mert ha egyik tényezője sem volna osztható /?-ve 1, úgy p relatív prím volna mindegyikhez**) s így a szorzathoz is, tehát a szorzat nem volna osztható /7-vel. Ebből következik, hogy a'1 hatvány csak akkor osztható p törzsszámmai, ha az alap a osztható /?-ve 1.

6. Ha a egész szám osztható b-vel és c-vel, melyek relatív prímszámok, akkor a osztható egyúttal b c szorzattal is.

*) Ha egy szorzat osztható valamely számmal, ebből még nem következik az, hogy minden esetben a szorzat egyik tényezője osztható a kérdéses számmal. Pl. (18.35) osztható 15-tel, de egyik tényezője sem osztható 15-tel.

**) Valamely törzsszám vagy osztója valamely egész számnak, vagy relatív prím hozzá.