II. kerületi állami főreáliskola, Budapest, 1913
Dr. Kresznerics Károly: Az egész számok elmélete
Ha pedig 2 (k- + k)-i £rgyel jelöljük, akkor {2k-\-\f=2k1-\-\. b) (2 k -f l)3 = (2 k + l)2 (2 k + 1) = (2 kx + 1) (2 k -f 1) = = 2(2££1 + £ + £1) + l és ha bevezetjük a rövid jelölést, akkor (2£ + i)3 = 2£,+ l. f) A tétel egész általánosan teljes indukcióval így mutatható ki: tegyük fel, hogy a tétel igaz r-re, vagyis (2£+l)r = 2£r_1J|-l, akkor (2 Ä + 1K+1 = (2 £ + 1)' (2 k + 1) = (2 £,_! + 1) (2 £ + 1) = = 2 (2 £,_! k. + £ + *,_!) + 1 és ha ebben 2 J k —j- k —J— ky _l = ky^ akkor csakugyan (2k-\~\ Y+l = 2ky~\~\ 3. E két segédtétel segítségével könnyen kimutatható, hogy fi — \2 nem jelenthet racionális számot, ha n > 1 egész szám. a) n > 1 esetében \n = 1, 2n > 2 és mivel 1 és 2 között nincs egész szám, ezért 1/2 nem jelenthet egész számot. b) De "\2 értékei között törtszám sem lehet, amit így láthatunk be. Tegyük fel, hogy ahol p és q viszonylagos törzsszámok. Ebből a feltételből az következik, hogy a p és q számok egyike okvetetlenül páratlan szám (mert ha mindkettő páros volna, akkor 2 közös osztójuk volna, tehát nem lennének viszonylagos törzsszámok). Az 1) egyenletből pn — 2 qn .....................................II) ami azt mondja, hogy pn páros szám. Arra kell tehát következtetnünk, hogy p is páros szám, mert ha páratlan volna, akkor a 2) segédtétel értelmében pn is szükségkép páratlan szám. De ha p páros szám, akkor q és így qn is páratlan, tehát II) egyenlet
