II. kerületi állami főreáliskola, Budapest, 1913
Dr. Kresznerics Károly: Az egész számok elmélete
mából képezett bxbt . . . bm szorzathoz. Előbb bebizonyítottuk, hogy b1,b.1,...bm számok mindegyike relatív prím a1 a.2 . . . an szorzathoz, amiből következik, ha ugyanezt a tételt még egyszer alkalmazzuk, hogy b1b.z...bm szorzat is relatív prím alaz... ö„-hez. Ennek a tételnek különös esete, ha ö1 — a.2 = ... = an = a b1 = b2 = ... = bm = b, vagyis ha a relatív prím b-hez, akkor a minden hatványa relatív prím b minden hatványához. Ezt a tételt fölhasználjuk annak bebizonyítására, hogy \a nem lehet racionális szám, ha a pozitív egész szám, de nem teljes n-dik hatvány. Ugyanis, ha \a racionális szám volna, vagyis ahol föltehetjük, hogy a tört számlálója és nevezője relatív prímszámok, akkor Pn a qn tehát pn osztható volna qn-r\<z\. De pn és qn relatív prímszámok, ezért pn csak akkor osztható ^"-nel, ha qn = 1, vagyis <7 = 1 s következésképen a = p'\ tehát a teljes /?-dik hatvány, ami pedig föltevésünkkel ellenkezik. Ezért \a nem racionális szám. Az \j2 irracionális voltának más bizonyítása Antal MÁRK-tól, a középiskolai Math. Lapok szerkesztőjétől származik és voltakép Kovalewszky által | 2 esetében közölt bizonyítás módosítása és általánosítása. Két segédtételre van szükségünk: 1. Valamely páros szám (2 k) r-dik hatványa osztható 2’-vei, mert (2 k)r = 2'. kr. 2. Minden páratlan szám (21z-\-l) minden pozitív egész számú hatványa ismét páratlan szám. A bizonyítást a biromiális tétel alkalmazása nélkül is elvégezhetjük. a) (2*+l)s = 4(*2 + A) + l.
