IV. kerületi (belvárosi) községi főreáliskola, Budapest, 1913

III. A logaritmus mint terület

17

Rajzoljuk meg az

y =f(x)

folytonos függvényt ábrázoló görbét, valamint az x = a és x = b (ahol a = b) ordinátákhoz tartozó f (a) és f(b) ordinátákat. Hz f(x) függvényről feltesszük, hogy pozitív, ha

a = x = b

és hogy értéke csökken, ha az x értéke növekszik*) Ilyen például 1 18

x pozitív értékénél az — vagy -^-függvény. Minthogyf(x) pozitív,

tehát a görbe az a abszcisszától a b abszcisszáig terjedő közön az x tengelynek állandóan egyik oldalán marad. Jelöljük T-vel azt a területet, amelyet e görbe, az x tengely és az f (a), f(b) ordináták határolnak. Lássuk, hogyan lehet e területet közelítőleg és pedig tetszőlegesen előírt pontossággal meghatározni. E terület egy trapézhez hasonló idom, a mely teljesen bennfoglaltatik abban a derékszögű négyszögben, a melynek alapja b—a hosz- szúságú és magassága f(a). Tehát

T^f(a) (b-a).

Másrészt a T terület teljesen magában foglalja azt a másik derékszögű négyszöget, amelynek alcpja b—a hosszúságú és magassága f(b), ennélfogva

f(b) (b—a) = T

és így összefoglalva

f(b) (b—a) = T=f (a) (b—a).

Ha véletlenül az f (a) (b--z) és f(b) (b—a) szorzatok értékei csak Jq^qq résszel (vagy ennél is kevesebbel) különböznek egymástól és a T területet 3 tizedesig terjedő pontossággal akarjuk meghatározni, akkor T számára akár az egyik, akár a másik szorzat értéke elfogadható, mert világos, hogy a T kevesebbel különbözik az egyik vagy a másik szorzattól, mint a két szorzat egymástól.

Ha ez a szerencsés körülmény nem forog fenn, akkor úgy nyerhetünk a T számára jobb megközelítést, hogy felbontjuk a területet f (a) és /(b) közé illesztett ordinátákkal darabokra és ezen egyes darabokra alkalmazzuk a megközelítés előbbi módját. Mindjárt látni fogjuk, hogy így a T terület értékét tetszésszerinti pontossággal meghatározhatjuk.

*) Ez utóbbi feltevés nem lényeges, de egyszerűsíti a tárgyalást.

IV. kér. főreál.

2