Békés Megyei Népújság, 1988. május (43. évfolyam, 103-129. szám)
1988-05-18 / 117. szám
NÉPÚJSÁG 1988. május 18., szerda Reméljük, sikerült... A matematika írásbeli tételek megoldásai A középiskolák többségében tegnap tartották meg az írásbeli érettségit matematikából. Mint azt tegnapi számunkban jeleztük, a gyors önértékelés érdekében, no és a matematika iránt érdeklődőknek közzétesszük az 1987/88-as tanév érettségi tételeit matematikából, és a megoldásokat, az értékelés pontszámát. Gimnáziumi tételek 1. feladat 1266. A tej tömegének 7,3 %-a tejszín. A tejszín tömegének 62 %-a vaj. Hány kg tejből készíthető 5 kg vaj? 6. feladat 975. Határozza meg a következő egyenlet valós gyökét! j/jL 27 = 3 Megoldás: = 3 Az egyenlet így írható: } "3 = 3X, ebből 2 . 3 . . X 3 ** *3 * 3 pont 2 pont 3 pont 2 pont Összesen: 10 pont A háromszög területe 30 egység. 2 pont CDB és PQB háromszögek hasonlók, mert szögeik egyenlők.1 pont Tehát: Q-z 8 y = £(a-x). A ?QB háromszög területe 15 egység: \2 2 pont 1 pont 1 pon'-ärihi = 2 872 - W , (8-x)2= 43 , | a-x| = Via = 4 VT. ilvel 0 < z < 8, ezért x - 8 - 4 VT. / = g.4 'ír = 2,5 VT («4,3) „ 3 pon*. 2 pont Összesen: 13 pont 4.(2270) Egy 12 cm élhosszúságú kocka minden csúcsánál levágunk a kockából egy olyan háromoldalú gúlát (tetraédert), amelynek oldaléléi a kockaélek 4 cm hosszú darabjai. Mekkora a megmaradt test térfogata és felszíne? Megoldás: 5 kg vaj q kg tejszínből készült, —^— kg tejszín pedig -------^--------C ,62 0,62.0,073 tejből készíthető. 110,4 kg 4 pont 4 pont Összesen: 8 pont 2. feladat 3499. így számtani sorozat első tagja 4, differenciája 5. Hány tagja van a sorozatnak 1000 és 2000 között? Megoldás.: i. sorozat n-edik tagja: £= 4 + 5(n-1) = 5n - 1. 3000 é 5n - 1-ből in-1 é 2000-ből 200 n. n é 400. Tehát a sorozatnak 400 - 2Í)0 van 1000 és 2000 között. 200 tagja 3 pont 3 pont 3 pont 2 pont Ös szesen: 11 pont 3. feladat 3354. -Így egyenlő szárú háromszög szárai az A(3;6) pontban metszik egymást. A háromszögbe írt kör egyenlete 0 0 (x-3)2+ y2 * 9. Határozza meg a hiányzó két csúcspont koordinátáit ős a háromszög területét! Megoldói A háromszögbe írható kör középpontja 0(3}0), sugara 3* A háromszög két 'szárának egyenese az A csúcsból a körhöz húzott két érintő, alapja AO-ra merőleges, tehát az x tengellyel párhuzamos, y = -3 egyenletű érintője a körnek. 90°, AO = 6, £0=3, ezért BAC2£ = 60°, a háromszög szabályos. CD = 3VJ, tehát B és C koordinátái: 2 pont Ilivel A£0A£ jiAO-S = 30°, Így A£ = BD N(3j3VJ;-3), C(3+3fJ;-3). . i. háromszög területe: 27 \Í3< 2 pont 3 pont 4 pont 2 pont Összesen: 13 pont 4. felac.at 2703. J«gy 9 dm-* térfogatú szabályos hatoldalú gúla ol- c.aléle az alapsíkkal J2°-oß szöget zár be. Milyen hosszúságú az oldalélé? Megoldás: Az ábra jelöléseivel: LL-íeladiib 41- Bizonyítsa be, hogy a kör egy ívéhez tartozó bármelyik kerületi szög fele/'akkora, mint az ugyanehhez az ívhez tartozó középponti szög! Megoldás. Hel.yes, teljes bizonyításért 14 pontot kell __ adni. I JLc, sJ : M- CSiJ'alq.cS 1Y) le-A {omÁoícíu CF v í hH 6 Megoldás: Szakközépiskolai tételek •1. (1319) ügy 1600 Pt-os elektromos vízmelegítő árát egyik évben bizonyos %-kal felemelték, majd a következő évben ugyanannyi #-kal leszállították, így új ára 1500 Pt lett. Hány százalékkal változtatták az árát? Megoldás: x %-oü áremelés után a melegítő ára: 1600 + 1600 ~~ 1 xOO a leszállítás utáni ár: 1600 +1600 loo (1600 1600 177 J Sí a feladat szövege alapján ez 1500, tehát 1Ó00 + 1600 SS . U600 + 1600 = 1500 , 1600 - 1600 l£ö* = 1500. Az egyenlet gyökei 25 és -25. £bben az esetben 25 a megfelelő érték, tehát az árat 25 %-kal változtatták meg. Ellenőrzés szövegben: 2 pont 2 pont 2 pont 2 pont 1 pont x pont Összesen: 10 pont. 2.(3387) írja fel annak a körnek az egyenletét, amely az abszcisz- szatengelyt a (3;0) pontban érinti, és az ordinátatengelyből 8 egységnyi hosszúságú húrt metsz ki! Megoldás: A feladatnak két megoldása lehet. Ezek az x tengelyre nézve tükörképei egymásnak. Mivel az érintőre állított, az érintési ponton áthaladó merőleges illeszkedik a kör középpontjára, a körök középpontjának koordinátái (3;y0) ill. (3;-y0); yQ > 0 y0 egyúttal a középpont és az érintő távolsága, tehát a körök sugara. Tehát a körök egyenlete: (x-3)2+ (y-y0)2 = y 2, 1 pont íx-3)2+ (y+yQ)2 = y02. Tekintsük a (3; yQ) középpontú kört! P_ Ez 8 cm hosszú húrt metsz ki az y tengelyből. A kör középpontjából az y tengelyre állított merőleges felezi a húrt, és párhuzamos az x tengellyel. 2 pont Az ábrán látható derékszögű háromszög átfogója éppen a kör sugara, tehát yQ Pithagorasz-tétele segítségével: 0i = 72°, m = o-sin 72° , 2 pont 9 + 16 = yQ , innen 2 pont x = o-cos 72° 2 pont yQ = 5, mivel csak yQ > 0 lehetséges. • 1 pont A gúla térfogata: Ezt felhasználva a körök egyenletei: 9 = j . 6. tG . m. 3 pont (x-3)2+ (y-5)2 = 25 é3 Az előzőkből 9 = ^2 o^cos2‘72°.o-sin 72°, 2 pont (x“3)2+ (y+5)2 = 25. 2 pont innen összesen: 10 pont 3/---------------------------• * 0 -\L-----------18-----------3 pont Videos*72°ain 72° tehát 3. (1394) Az ABC háromszögben a CD = 5 egységnyi magasság az o = 4,85 dm. 2 pont AD = 4 és DB = 8 egységnyi részekre osztja. Határozzuk meg» Összesen:14 pont 5. felac.at 2927. Melyek azok a valós számok, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség? tgx = ctgx. Megoldó:.: annak a CD-vel párhuzamos szakasznak a hosszát, amelynek a végpontjai a hái^oszög oldalain vannak, és a háromszög területét két egyenlő részre osztja! Megoldás: Ez a szakasz csak a BCD háromszögben lehet, mert a magasság által kettévágott részek közül ez a nagyobb területű derékszögű háromszög. Jelöljük PQ-val ezt a szakaszt! * e k indoklása például a függvények ábrájával, vagy közvetlenül a definícióval történhet. 10 pont is merőleges AB-re, mert CD-vel párhuzamos. Legyen Dj = x és PQ = y. 1 pont 8 db gúlát vágunk le. Testmagasságuk 4-4 cm, alapjuk pedig 4 cm befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszög. 1. Egy kis gúla térfogata: vg * 3Í2 • 4 = ¥ (cm3) A megmaradó test térfogata: Vk ~ 8Vg = 1728 ~ ^ ; ( « 1643) (cm-*) . 2. A kocka lapjaiból 4-4 háromszöget vágunk le: ezek területe: . . _ th = = 8 Com2). Tehát egy lap maradék területe: = 122 - 4.8 = 112 (cm2). A levágás során a kocka sarkainál egyenlő oldalú három- szögek keletkeznek. Ezek oldalhossza: 4. ^"2" A“A" A 4 -V~2 oldalú szabályos háromszög magassága 4. \T~2~ ^ , tehát a háromszög területe: t2 = 8.tfT(^13,86)(cm2) A = 6tx + 8t2 = 672 + 64 f? 783)(cm2) 2 pont 3 pont 2 pont 2 pont 2 pont 4 poai 2 pouösszesen; 3.7 pont 5« (53) Hogyan definiáljuk két vektor összegét, illetve különbségét? Sorolja fel a vektorösszeadás tulajdonságait! Megoldás• Az összeg helyes definíciójáért A különbség helyes definiciójáért ■ Az Összeadás tulajdonságainak felsorolásáért 2 pont 2 pont 2 pont Összesen: 6 pont (1744) Állapítja meg, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! Válaszát indokolja! A deltoid a/ mindig húrnégyszög; b/ lehet érintőnégyszög; c/ nem lehet trapéz; d/ mindig rombusz; e/ lehet téglalap; f/ mindig konvex. Megoldás: a/ Nem igaz, mert ahhoz az kellene, hogy a szemközti szögek összege 180° legyen; ez általában nem teljesül, b/ Szemközti oldalainak összege mindig egyenlő, ezért a konvex deltoid mindig érintőnégyszög. 2 c/ Nem igaz, mert a négyzet deltoid is és trapéz is. 2 d/ Nem igaz, mert a rombusznak mind a négy oldala egyenlő, a deltoidnál elegendő, ha csak két-két szomszédos oldala egyenlő. 2 pont e/ Igaz, mert pl. a négyzet deltoid is és téglalap is, vagyis olyan deltoid, amelyik téglalap. 2 f/ Nem igaz ld. ábra 2 pont pont pont pont pont Összesen: 12 pont (Hiányos indoklás esetén 1-1 pontot adjunk.) 7. (22) Bizonyítsa be a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket! Megoldás: A teljes bizonyításért 12 pont (6-6) jár. Hiányos indoklás esetén a pontszámot arányosan csökkentsük. tekéiéi Mindkét iskolatípusban 17 pontig elégtelen. A jeles alsó határa 60 pont. A jeles osztályzat alsó határától és az elégséges alsó határától (18 pont) alapos indokkal egyes esetekben plusz-mínusz 3 ponttal el lehet térni. Az itt közölt megoldásoktól eltérő helyes megoldásokra is teljes pontszám jár. ,
