Békés Megyei Népújság, 1986. május (41. évfolyam, 102-127. szám)
1986-05-14 / 112. szám
NÉPÚJSÁG 1986. május 14., szerda S neked hogy sikerült az írásbeli érettségi? Matematika A középiskolák nagy részében tegnap tartották az írásbeli érettségit matematikából. Ígéretünknek megfelelően közöljük a tételeket, a megoldásokat — esetenként a helyhiány miatt rövidítve — és az eredményeket. Gimnáziumi tételek 1, feladat: 3224» Számítsa ki az y= -2x + 3 és a 4x - y + 9 a 0 egyenletű egyenesek metszéspontjának koordinátáit! Megoldás: A két egyenes metszéspontjának, koordinátái az y = -2x ♦ 3 , 4x - y + 9 = 0 egyenletrendszer gyökei* Az első egyenletből y-t a másodikba helyettesítve a ' 4x - (-2x + 3) + 9 » 0 egyenletet kapjuk. Ebből x = -1, ennek felhasználásával y = 5* A (-1,5) pont mindkét egyenes egyenletét kielégíti, tehát megoldása a feladatnak. Összesen: 7 pont 2, feladat: 2278* Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 14 cm, az oldalélek hossza 20 cm. Mekkora a gúla felszíne A gúla alapterülete 142 = 196 cm2. Magassága az EPG derékszögű három- szögből EP = \/ EC2-í = V302' = 17,4 cm (PC = = ifi, mert az alapnégyzet átlójának fele). v = ;36^ŰÖ2 . 1135,4 cm2. A gúla felszínéhez szükségünk van még az oldallapok területére. Az oldallapok egybevágó egyenlőszárú háromszögek. A BCE háromszög BG oldalhoz tartozó magassága Pithagorasz tétele alapján: EG = Vf«2 - CG2 -j35Í = 18,7 cm. Az oldallapok területének összege: 4.14-fífl = 524>6 cm2t tehát a gúla felszíne: 720,6 era2 * Összesen: 13 pont 3. feladat: 2043. Az egységnyi területű ABC háromszögben CAB<1= 60°, ABC-4-= 30°. Jelölje F az AB felezőpontját, D és E a BC harmadolópontjait. Mekkora a DEF háromszög területe? A CP súlyvonala az ABC háromszögnek, ezért két egyenlő területű háromszögre bontja. Mivel *abc= 1> azt kapjuk, hogy t - i XBCP 2 Megoldás: és térfogata? így a gúla térfogata: A BDP, DEP és ECP háromszögek területe egyenlő, mert a BD = DE = EC és ezekhez az egyenlő oldalakhoz tartozó magasságuk közös. / 13 úgy *DEP = J *BCP = S’ * Összesen: 13 pont 4. feladat: 773* Az a mely valós értékeire van az x2-4*+3 = 0; x2 - (a2 + l)x + 3a = 0 egyenleteknek közös gyöke? : Az x — 4x + 3 = 0 másodfokú egyenlet gyökei x1 = 3,- x2 = 1. Ha. a két eg,enlet közös gyöke 3, akkor ez kielégíti a második egyenletet is, ebből a2 - a - 2 = 0 adódik, ami Ql = 2 és a2 = -1 esetén teljesül. Ha a két egyenlet közös gyöke 1, akkor ez kielégíti a második egyenletet is, ebből a2 - 3a = 0 adódik, ami a^ = 0, a^ = 3 esetén teljesül. A kapott a értékek valóban megoldásai a feladatnak, mert a hozzájuk tartozó másodfokú egyenletek és gyökeik: a^ = 2 j x2- 5x + 6 = 0 • a2 = -1 ; x2- 2x - 3 = 0; a^ = 0 j x2 - x = 0 j ,a| = 3 ; x2 - íox +9= o j 2 és 3 í -1 és 3; 0 és 1 j 9 és 1. Összesen: 14 pont 5. feladat: 1600. Mely valót számokra értelmezhető az a/ lg/x^l; b/ \jlg(x-l) kifejezés? Megoldás: a/ A négyzetgyök csak nemnegatív szánokra értelmezhető, ezért xál. A logaritmus csak pozitív számokra értelmezhető, ezért xbl, fehát a kifejezés az x>l valós számokra értelmezhető. b/ A logaritmus csak pozitív számokra értelmezhető, ezért 1. A négyzetgyök csak nemnegatív számokra értelmezhető, ezért lg(x-l)i 0. A tízes alapú logaritmus függvény tulajdonságai miatt ebből xá 2. A kifejezés tehát az XÍ2 valós számokra értelmezhető. Összesen:10 pont 6. feladat: 3188. Mekkora szöget zárnak be egymással a v (-4;3) és u (12;5) vektorok?. Megoldás: Ha a két vektor szögét »p-vel Jelöljük, akkor a skaláris szorzatuk: u.v =|uj|v|.co3lf. 2 pont |u|*^L69n ■= 13, |v|= \r2‘f =5. 2 pont A koordinátákkal számolva: u<Z = -33. Ezekből ,, cos «f —•ff = - 0,5077, és ip = 120,51°. Összesen: 11 pont 7. feladat: 102. Egy mértani sorozat első eleme a^, hányadosa q. Bizonyítsa be, hogy aQ = a^q11-^ és S n (q 4 1)! Az an képletének igazolásáért, Az Sn képletének Igazolásáért, Összesen: 12 pont Szakközépiskolás tételek 1. /34Q6/ Egy számtani sorozat első tagja 100, a hatodik tagja pedig egyenlő a differenciával. Határozza meg a második tagot! Li egoldás: a1=100 a6=aí+^d A feladat adatait behelyettesítve: d = 100+5d d=-25 Tehát a2=75 • Összesen: 8 pont 2. /1260/ Az egyik olajtartályunk térfogata kétszerese a másikénak. A vásárolt olaj j része már nem fér a kisebbik tartályba, ha pedig a nagyobbik tartályba öntjük a vásárolt olajat, még további 50 liter férne bele. Hány liter olajat vásároltak és mekkorák a tartályok? .Megoldás • az I. tartály térfogata legyen 2V, a II. tartály térfogata V, A .vásárolt olaj térfogata legyen v. «t következő egyenleteket írhatjuk fel: v + 50 = 2V Az első egyenletből V-t a másodikba helyettesítve: v + 50 = -|v, amelyből a v = 150 megoldást kapjuk. * = 100 # Összesen: 10 pont 3. /2528/ A valós számok halmazának mely legbővebb részhalmazán értelmezhető a ^(sin x + cos x - l)(sin x + cos x + í) kifejezés? Megoldás: Jelöljük a négyzetgyök alatti kifejezést A-val. A = (sin x + cos x - l)(sin x + cos x + l) A = (sin x + cos x)2-l 2 2 A = sin x + cos x + 2sin x cos x - 1 A = 2 sin x cos x A = sin’2x ezért \/(sin x + cos x - l)(sin x + cos x + 1) =\/sin 2x E kifejezés a négyzetgyök definiciója alapján akkor értelmezhető, ha sin 2x>£0 2kTi 2x 4(2k + l)fr kJT ^ x ^(k + )JT, ahol ké£ Összesen: 15 pont 4. /Ioo8/ Az ABC derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm. A derékszögű C csúcsban a háromszög síkjára merőlegest állítunk. Mekkora a háromszög átfogója, ha az előbbi merőleges egyenesen C-től 3 cm-re felvett D ponttól az A3 átfogó 5 cm távolságra van? Megoldás: Az adatok alapján az ABD háromszög magassága 5 cm. Legyen a magasság talppontja T. DTXAB DCXAB AB merőleges lesz a DT és DC egyenesek által meghatározott síkra, ezért a síknak T ponton átmenő CT egyenesére is. Tehát CT az ABC háromszög AB-hez tartozó magassága. Tekintsük a DCT és a CAB háromszögeket! Pithagorasz tételét ^ felhasználva CT =s 4 Ugyanígy kapjuk, hogy A T x ß AT = 3 Derékszögű háromszögben a magasság mértani közepe az átfogó két darabjának. 42 = 3x x = 3 AB = 3 + C otf). Összesen:18 pont 5. /33/ Határozza meg a következő ponthalmazokat! a/ Két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkban és a térben, b/ Két adott egyenestől, egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkban. megoldás: a/ Két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkban a két pont által meghatározott szakasz felezőmerőleges egyenese. A térben az előbbi szakasz felezőmerőleges síkja.- b/ Ha a két egyenes párhuzamos, akkor a keresett ponthalmaz az ún. középpárhuzamos, na a két egyenes metsző, akkor pedig a keletkezett szögek szögfelező egyenesei. Összesen: 10 pont 6. /466/ Számítsa ki a következő kifejezés pontos értékét] log5 15 + log^ 35 - log^ 21 Megoldás: A feladat megoldásához a logaritmus azonosságaira és definíciójára van szükség log515 + log^35 = log515-35 log5X5-35 - log5 21 = log5 - = = log525 = = log552 =- 2 összesen: 9 pont 7« /85/ írja fel az A ( a-^; a£) és B(b-p 02) pontok távolságának kiszámítására vonatkozó képletet, és igazolja annak helyességét! A* igazolás megtalálható a harmadikos tankönyv 83. oldalán Összesen: 10 pont Értékelés Mindkét iskolatípusban 18 pont szükséges az elégségeshez. Annak, aki elérte a hatvan pontot, jeles jár. A közbülső osztályzatok a kialakult tanári gyakorlat alapján állapíthatók meg. Az itt közölt megoldásoktól eltérő helyes megoldásra természetesen teljes pontszám jár. Egy-egy feladat részletmegoldásaiért részpontokat kapnak a tanulók.
