Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 65 ványozva az 1-el incongruens r maradékot ad, tehát m,

c''=r (mod. k) s mindazon szám, mely c

x-ra hatványozva (mod. &)-ra r maradékot adhat m, ma, ma

2, ma

3.... ma

c'' sorba sorakozik. Igazolja ezt azon h szám, mely az x'*=r (mod. k) congruentia gyöke; oldjuk meg h=m [J. (mod. k) congruentiát y.-re, akkor mindkét oldalt c'"-ra hatványozva H

C =M

C [J.° vagy mivel ugy H mint M a congruentia gyökei, nyilván X X |J. =1 (mod. k) azaz : y. gyöke az x

c =k (mod. k) congruentiának; a föntebbiek után tehát a valamely hatványával pl. á" congruálnia kell, vagyis |7.=a

n, szorozva m lesz i/ipM" (mod. k) s mivel h=m\j. nyilván h=ma" (mod. k) vagyis h az Y—1 m, ma, ma

2 .... ma sor valamely tagja. Ha tovább megyünk s az 1, 2, 3 ... . k—1 sorból az eddig nem jelentkezett m

1 számot vesszük s c

x hatványát képezzük, ez ugy az 1 mint r-el incongruens, hanem igenis congruens lesz r,-el, s mindazon számok, cl—

1 melyeknek c* hatványa fj-el congruens, az m

t, m

xa, m

la

2 m

1 a k—1 sorban találhatók. Könnyii belátni, hogy ez uton haladva —— =2i szám csoportot, mindegyikben q—ct tagot találunk; mindegyik csoport tagjainak c

x hatványa egy ugyanazon maradékot, a különböző csoportok különböző maradékokat adnak. Látjuk tehát, hogy az 1, 2, 3 ... . (4—1) sor tagjainak c* hatványa csakis q

x számú incongruens maradékot adhat, nagyon természetes, hogy X x =A (mod. k) congruentia csak ugy lehetséges, ha A is a c

7" hatvány maradéka. Kérdés már most: mint dönthetjük el előre e congruentia lehetőségét, vagyis, mely criterium árulja el A-t a c

x hatvány maradékának ? Ha valóssággal létezik congruentiánknak hódoló x szám, akkor y y y y Y c 2, c ' q.q

t (k—l)c ' iV x —

x —

x —

A (mod. k) s mivel x

k~

1=1 (mod. k) következik: A

q'=1 (mod- k) tehát ugyanazon feltét mint 1) alatt. Eredményeink tehát következők: a) Ha c törzsszám ós c* azon legnagyobb hatvány, mely (k—l)-nek tényezője, s ha y<*> 8 rövidség kedk—1 véért c*—q, —p =q

{ akkor, ha x° -banashelyettazl, 2, 3.... k—1 sor tagjait helyettesitjük q

x számú q tagból álló számcsoportot nyerünk, melyek c* hatványának maradékaival incongruensek. Congruens számok elmélete. ^