Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 62 A"Z=A<£+

]=AiZA=A (mod. k) vagy (A^Y=A (mod. k) mely az l)-el ae=AZ (mod. 4) gyököt adja az cc

n=vl (mod. 4) congruentia számára. Ez egy megoldás meglevőn, további kérdés leliets é g e s-e több is? Legyen a másik megoldás x=A

x (mod. k). Határozzuk meg A^ legkisebb maradékát s legyen pl. Á'=r (mod. k) akkor egyidejűleg r

n=A I . n )• (mod. k) congruentiák jogosultsága következnék, Ai =A | ezekből pedig létet nyer jn=4

1

n (mod. k). Feltétünk szerint azon A, és r incongruens megoldások nyilván r=A

xy (mod. k) congruentiából y számára az 1-töl különböző értéknek kell előállni. Hogy ez utolsó congruentia okvetlen érvényes, már csak abból is világos, hogy ^4-t a 0 és 1-töl különbözőnek kell felvennünk, tehát sem r, sem A,, melyek pedig az adott congruentia megoldásai lennének, nem lehet egyenlő 1-el, sem k többesével, tehát ugy r mint A, mint k viszonylagos törzsszámok. Helyettesítsük már most r értéket a megelőző congruentiába, lesz : (^i2/)

n=.4

I

ny

n=4

1

n (mod. k) s ebből y

n=l (mod. k) következnék, melynek létfeltéte, hogy n a (k—1) tényezője legyen, mit tárgyalásunk homlokára tíizött feltétellel kizártunk. Eredményeinket következőkben adjuk: Ha a congruentia kitevője, w és (k— 1) viszonylagos törzsszámok s q azon kitevő, melyhez .d tartozik s ,—t az «C= 1 (mod. q) congruentiából meghatározzuk, akkor x=A* (mod. k) az x

n^A (mod. k) congruentiának gyöke s e kivül más gyöke nincs. Pl. x

1=3 (mod. 73); itt k—1=72, ?i=5 a kitevő, melyhez 3 tartozik, q= 12, tehát mindenek előtt 7*(=1 (mod 12) oldandó meg, melyből "C=7 tehát a5=3

7; mivel 3=5

6 (mod. 73) nyilván 3

7=(5

6)

7=5«=--3=70 (mod. 73) az sc

7=3 (mod. 73) congruentia gyöke. S csakugyan —3=5«; (—3)

7=(5

4

2)

7=529<=5<>=3 (mod. 73). Vagy a;"=37 (mod.73) 37 a 9 kitevőhöz tartozik, tehát az előleg megoldandó congruentia 11^=1 (mod. 9) honnét '(=5 tehát «=37

aa congruentia gyöke; azonban 37=564 tehát 37

5=(ö6

4)5=5-«o=532=16 tehát ass37

5==16 (mod. 73),mi könnyen igazolható,mert 16=5

3

2,16

1 '=(5

3

a)

1 '=5 3S

í=5

6 '=—36=37 (mod. 73). 3) A congruentia kitevőjóneks (k—l)-nek van közös osztója. Legyen e közös osztó q s mivel n és (le—1) viszonylagos törzsszámok, congruentiánk x

n

q=A (mod. k) alakú. Mivel q a (k—l)-nek tényezője, feltéve, hogy /l

q'=l (mod. k) con-