Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 63 gruentia érvényre emelkedik, congruentiánk q számú megoldást ad, melyek 1) szerint meghatározhatók. Legyen tehát afesn,,^, t^yi, . . . . Y)

q (mod. k) akkor, mivel 11 és (k—1) viszonylagos törzsszámok, minden 7i-nak csak egy a 2) szerint meghatározható H érték felel meg x számára, úgy hogy c

2, c

3 c, (mod. k). E q számú értékek incongruensek; mert ha néhánya congruens volna, n-dik hatványaiknak, azaz a megfelelő '/i-n«k is congruenseknek kellene lenni, ellentétben azzal, hogy mindannyit különbözőnek határoztuk meg. Mindegyik megfelel a congruentiának, tehát annak q számú gyökét állítják elénk. Több megoldás nem is lehetséges. Tegyük föl van még egy megoldás az elöbiekkel incongruens c-ben, kell tehát megfelelő v)-nak is lenni, melyre C

N=/I (mod. k) megállhat, ezen TI pedig az (íc

n)

q=7i

q=.í4 (mod. k) congruentia (<? + l)-dik megoldása lenne, mikor g-nál több nem lehet! Ha ^4

q'=l (mod. k) feltéti congruentia nem lehetséges, akkor x számára épenséggel nem találunk oly számértékeket, melyek íc

n

q hatványa maradékul A—t adja, mert amint x valamely értékére x

n

q^A (mod. k) megállhat, azonnal következik: Í

Cnqq,=

;

cn(k—(

m

od. k) azaz : feltéti congruentiánk csak úgy lehetséges, ha A az nq hatvány maradéka. Innét e következő tétel: Ha n viszonylagos törzsszám és <7 tény ez öj e a (k—1)nek, akkor, ha A'« =1 (mod. k) lehetséges, x

n

q= A (mod. k) congruentiának q számú sem több sem kevesebb gyöke lesz. Ezek meghatározására v)

q=4 (mod. 4) és £c

n=vi (m 0 d. k) congruentiákat kell megoldani. Legyen pl. a;

3°=17 (mod. 73) megoldandó. „=13, 9=3, 24, 4=17, £=73, k—1=72. Mindenek előtt lehetsóges-e e congruentia ? — Az az 4'''=1 (mod. k) szerint 17

2<=1 (mod. 73)-tól függ. Mivel 17=52' (mod. 73) tehát 17

2

4=5

21,2

4=5

7,

w=-|-l, tehát fölvett congruentia lehetséges, s lesz q—3 gyöke. Ezek meghatározására vi

3=17 (mod. 73) congruentiát kell előbb megoldanunk; e célra Y)=5=17

,/

s, 17=5

2

1 tehát 17'i==;5=15,tehát-/!=15. A (mod. 73) mellett 3 kitevőhöz tartozik 8 és 64, tehát, hogy minden gyököt előállíthassunk,8-at a o, 1,2, hatványra kell emelnünk: 8°, 8

1, 8

2 1 8 64 vagy 1 8 —9 s ezeket vi=15-el szoroznunk kell, hogy a különböző v)i értékeit nyerjük, ezek v]=15, —26, 11 (mod. 73). Ezek után sc

n=v) (mod. k) szerint: cc

,

3=15 (mod. 73) x

,

3=—26 (mod. 73), sc

1

3=sl 1 (mod. 73) congruentiákat kell a megelőző 2) szerint megoldanuuk. Miután (mod. 73)-ra 15, —26, 11 a 72 kitevőhöz tartoznak, 13 '(=1 (mod. 72) congruentia megoldása C-ra adja a gyökök nyomára vezető kitevőt. A lánctörtek se-