Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— ül — tia csak akkor oldható meg, lia r a q

t számú különböző n egyikével congruens. E qi számú érték egyszersmind az ?

q=l (mod. k) congruentia összes megoldása. Ha még egyidejűleg p*»'=l (mod. k) is jelentkeznék, s p incongruens r-el (mod. k), akkor ebben egy (q

{ + l)-dik megoldás mutatkoznék az »'

q

,=l (mod. k) congruentia számára, mi azonual romba döntené ismert tótelünket, mely szerint =1 (mod. &)-nak csak q

t számú megoldása lehet. Ha tehát a p szám Jj-dik hatványa congruens az 1-el, p nem lehet incongruens minden n-vel, hanem legalább egygyel congruensnek kell lenni, más szóval az cci hatvány lehetséges maradékai közt foglal helyet. Eredményeinket következőkben foglalhatjuk össze : k— 1 Ha {k -1) tényezője q és q

t = akkor csakis azon r számok lehetnek az x'

1 hatványaival congruensek (ma'radékok), melyekegyszermind r

q

i =1 (m o d. k) oongrue ntia követeléseinek is hódolnak; s mindazon számok, melyek i

q' =1 (mod. k) congruentiának nem hódolnak — az x

H hatványnyal is in congruensek (nem maradékok). Ha a feltéti congruentia jogosult, akkor (m o d. k)nak q számú incongruens gyöke lesz, melyek — ha egy ilyen m — az m, ma, ma

2, ma

3 .... ma

k ~

1 sor szerint állit hatók elő. Pl.: (Mod. 73) mellett a?

G-nak maradóka lesz-e 3 és 15 vagy — 3 ? Mivel q=G, q, = l2 s 3=5° tehát 3

,

2=5

7

2=+l tehát 3 az a? hatodik hatványának maradéka; mig 15=5

7 és 15

1

2=(5

7)

,

2=5

8

4==5

1

2=9 tehát 15 az x G-dik hatványának nem maradéka. Ép igy —3=5

4

2 (mod. 73) tehát ( — Ji i2=(5

4

2)

l

2=5

5o

4=5

7

2= + l S igy bármely számról könnyű szerrel eldönthetjük a Canon segélyével, váljon bizonyos hatványnak maradéka-e vagy nem. 2) Vegyük föl a legáltalánosabb esetet: az x kitevője és A: — ! viszonylagos törzsszámok. Legyen a megoldandó congruentia x

n=A (mod. k) 1) Mindenekelőtt lehetséges-e gyök? Az 1-töl k—l-ig terjedő számokat mindig beoszthatjuk oly q kitevőkhöz, melyek a k—l-nek tényezői, s mivel /I az 1-töl k—l-ig terjedő számok valamelyikével congruens, tegyük, hogy q kitevőhöz tartozik, tehát A"=l (mod. k) . • • 2) jogosult, melyben a q az w-hez viszonylagos törzsszám ; mert n és k— 1 viszonylagos törzsszámok, nyilván n is viszonylagos törzsszám lesz k—1 bármely tényezőjével, tehát a ^-val is. C, és \ ismeretleneket mindenkor meg lehet ugy határozni, hogy nC—q£ + l érvényre emelkedik, miből ?i'(=l (mod. q); akkor ha 2) c-re hatványozzuk /l

q

5=l (mod. k) következik, tehát