Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881
— 51 — álfcal korlátoltatunk. A mint a logarithmus fogalma több, alkalmazásában nevezetes tételre vezet, ép ugy az index.fogalmából következik: a) Az 1, 2, 3 . . . k—1 számoknak más ós más primitív gyök alapról más index felel meg, tehát e sor tagjainak annyi indexük lehet, a hány &-nak primitív gyöke. b) Ugyanazon alapról két congruens szám indexe egyenlő. c) Bármi legyen az index rendszer alapszáma, ind. 1=0; mert ha p az alap, akkor p°=l. d) Ha &>2, akkor ind. (— 1)=J(& 1); mert ha ismét p az alap, akkor Fermat szerint J9 k_ 1—1=0 (mod. k) vagy k—X k—1 p k_ 1—l=(p 2 —1)(/> 2 +1)=0 (mod. k), tehát e tényezők egyikének k—1 congruensnek kell lenni 0-al (mod. k) • azonban p 2 —1=0 (mod. k) — 1 .k-1 nem lehetséges, mert akkor p 2 =1 (mod. k) volna s ebből ind. 1= —9—mi k— 1 ellenkezik c) ponttal egyrészről, másrészről p primitív gyök a —~— Zi kitevőhöz is tartoznék, mi már önmagában is ellenmondás; nyilván k-1 való tehát, hogy a másik tényezőre érvényes p 2 +1=0 (mod. k) conk—1 gruentia, miből p 2 =—1 vagyis ind.{—l)= ,j 2(k — 1). 1) Szorzat indtxe. Ha valamely c szám congruens egy más tényezőire bontható számmal mint: e=ub (mod. /z), akkor ind. (ab)=ind. a + ind. b (mod. li — 1). Tegyük föl p, a primiti v gyöke, akkor a=p' ml a (mod. k) és b=p in ib (mod k) szorozva: áb=p in i- a+ in db (mod k) azonban ab=p i n< a b> (mod. le), tehát pini. (ab)=pind. a+ü.d. b ( m od. k), s mivel p a (ft—1) kitevőhöz tartozik (12. §. 4) szerint, nyilván ind. (ab)=ind. a+ind.b (mod. k—l,)azaz: a szorzat indexe congruens a tényezők indexeinek összegével az 1-el kisebbített modul szerint. Kiterjeszthető e tétel bármely tetszőleges számú tényezőre is. Pl. ind.(6'ó)=ind.l +ind.9 (mod. 12) föntebbi táblából ind. 7=11, ind. 9=8, tehát ind. 63=19=7 (mod. 12). Vagy ind. (945)=ind. 3 +ind. 5 + ind. 7 +ind. 9 (mod. 12) vagy ind. (945)= 4+ 9+ 11+ 8=32^8 (mod. 12). Különben bármely összetett szám indexét tényezőre bontás nélkül sokkal rövidebben találjuk az iménti b) szerint. Ha abc . . . =m (mod. k) t akkor ind. (abc .. ,)=ind. m (mod. k—1), azaz megkeressük, az adott szám az 1, 2, 3 . . . k—1 sor mely tagjával lesz congruens (mod. ft)-ra; nyilván azon tag indexe, indexe lesz az összetett számnak is. Igy 63=11 (mod. 13) 4*
