Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 49 — Vizsgáljuk meg, e két eset közöl melyik lehetséges; S minden esetre nagyobb az egységnél, akkor pedig i -t-2 + S nem lehet nagyobb az M-nél, mert ez esetben osztható volna w-nel, következéskép a

2"1—1=0 (mod.2") tehát azon kitevő, melyhez a tartozik, kisebb lenne 2

s-nál, tehát csak i+2-f eset lehetséges, miből Í + 2=»— bevezetve, az értéket az 1) egyenletbe, «=2

n—

s»i+l ... 3), hol m következő : 1, 3, 5, 7 . .. (2

S — 1), értékeket 2'

J_ 1 számban veheti föl s a + jegy miatt a páratlan számok két sora lép föl, melyek mindegyike 2

0 —

1 tagot karol föl. Ez eredményt következőkbe foglaljuk: Ha Sa következő számok 2, 3, 4... (n—2) egyike akkor 2° oly páratlan szám van, m e 1 y (mod. 2

n )-re a 28 kitevőhöz tartozik, vagyis =1 (mod. 2" ). így pl. Ha n= 5, 5=3, akkor (mod. 2

5)-hez 2

3=8 páratlan szám lesz, mely 2

3=8 kitevőhöz tartozik, s mivel 3) szerint «=2"~

0/M+1 s mivel 2

i

i~

1=4, m értékei 1, 3, 5, 7 lehetnek melyekkel a=2

im

Jr \ szerint f

l=:4+l=5, 3; a=43+l-=13, 11; a=4.54-l=21, 19; a=4.7±l=29, 27, tehát (mod. 32)-re a 8 kitevőhöz 3, 5, 11, 13, 19, 21, 27, 29 számok tartoznak. 2) Ha a fölvett a szám már 2-liöz mint kitevőhöz tartozik, akkor a 2)-vel jelzett egyenletek elsőjéből i + 3^* re, miből i+2^.n—1, hol ismét csak i + 2=ra—1 használható; ha továbbá feltesszük,hogy i+2=n, akkor mivel feltevésünk szerint «<2" az 1) egyenletben m=l s + helyett csak — t kell vennünk s e 3 feltét mellett 1) egyenletünkből a=2"1—1, a=2" 1 + 1, ós a=2

n—1 három szám áll elé, mely 2 kitevőhöz tartozik. Azon számokat, melyek a legnagyobb kitevőhöz, t. i. 2

n_

2 tartoznak, az által kapjuk, ha a megelőző pont 3) egyenletében —2, m=2m+1 helyettesitünk, mi által: a=2

nn+

2(2ra-M)+l=8m+5 vagy 8«i + 3 alakok lépnek föl, melyek a 2" 2 kitevőhöz tartozó páratlan számokat adják. Itt azonban w>3, mert ha n=3, akkor <)=ii - 2-ből az érték mellett S= 1, tehát 2 a legnagyobb kitevő, melyhez föntebbiek szerint 3, 5, 7 számok tartoznak (mod. 2

3)-ra. Ha tehát elfogadjuk, hogy n> 3 s az a=8m + 3 alak egy száma b és a=8;»-|-5 alak száma e, akkor . . . 2 e

1 e

2. . . e

2" sor mindegyike 2

n_

2 szánni incongruens maradékot ad, s figyelemre méltó, hogy 6 páratlan hatványai 8;» + 3, mig c páratlan hatványai 8m + h alakúak, mig ugy c mint b páros hatványai a 8m + l alakkal szerepelnek. Mivel továbbá az 1, 2

n—1, 2

n~

3 határok között a 8m+l, 8m + 3, 8m + 5, 8m4-7 alakú számok mindegyikéből fordul elő, b hatványai tehát a 8;n + 3 és 8m -f1 alakuakat, Congruens számok elmélete. 4