Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 48 — Lássuk e tételek alkalmazását. Ha k =7, primitiv gyökei 3 és 5, s mivel p

k~'—1=0 (mod. k) csak akkor érvényes, ha p~2~—1=0 (mod. k'

1) tehát 33=27 és 5

3=125=27 (mod. 49) tehát 3 és 5 primitiv gyökei a 7" és 2.7n moditlokuak is, bármi legyen n értéke. A 3) tét. szerint meghatározhatjuk M=2-re vagyis (mod- 49) primig 2184 tiv gyökeit. Mivel —=-- = y = 312 = 4 (mod. 7) és 5 78120 —^— = —^—

: = 11160 = 2 (mod. 7) az a értékei 4 és 2 lesznek, tehát 3) I és II képletei szerint 49 primitív gyökeit. P=3(4 +A)7 és P=.5 + (A+2) 7 adják, hol, ha h——4, —3, —2, —1, +1, +2 és h=—2, —1, +1, +2, +3, +4 P= 3, 10, 17, 24, 38, 45 P= B, 12, 26, 33, 40, 47 Ezekből (mod. 2.7

2=98)-ra az 5) és 6) pont szerint a primitiv gyökök lesznek : 3, 17, 45, 59, 73, 87 5, 33, 47, 61, 75, 89. így mehetnénk tovább 7

3 és 2.7

3 stb. primitiv gyökeinek meghatározására. 16. §. A (mod. 2

n) primitiv gyökei. A primitiv gyök lehetségének ismérveinél láttuk, a mint n>2, bármely páratlan számnak 2

n 2 hatványa^(mod. 2

n )-re congruens az 1-el. Csak ha ?<=2, állt elé 3-ban egy primitiv gyök. Tegyük fel, hogy n ">2, akkor azon kitevő, melyhez (mod. 2" ) mellett valamely páratlan szám tartozik, 2 oly hatványa, mely ^yn—2. Az 1 azon egyedüli páratlan szám, mely l-hez mint kitevőhöz tartozik ; a többi páratlan számokat a=2'+

2m+l ... 1) általános alakba foglalhatjuk össze, hol i a 0-tól kezdve bármely értéket felvehet, m pedig valamely páratlan szám, s a + miatt a páratlan számok két sora szerepel. Ha l)-et négyzetre emeljük, lesz: a

2=2

2

i+

4«i

2 + 2

i+

3m+l=2

i+

3ítt(2'+

1m+l) +1 s mivel mi(2

i+

1/rt+l)=w

l újra páratlan szám, tehát (t

2=2

i+

3»!

1 + l ... 2) ismét négyzetre lesz. «2°=2

2

i+

f

im,

2 + 2'+%, +1=2

i+

4w, (2

I+

2w

1 +1) +1, hol w, (2'+

2«i, +1 )=m

2 ismét páratlan, tehát a

2

3=2

i+

4»)

2 + l ... 3) így mehetnénk tovább is, tehát teljes általánosságban «2

s=2'+

2 + sm

3-f 1 ... I. ha tehát 28 azon kitevő, melyhez a páratlan számok képviselője («) tartozik, akkor t+2+S>n . . . oc)