Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

a) —1 nem osztható k

2-e 1. P

k1—1 osztható k

2-e 1 vagy V^—^ — 1 V—p nem amint-—^ h(k—l)p

k~'"m vagy m osztható vagy nem vfi i) osztható A>val. Ha—Í- osztva fc-val maradékul x-t ad sh oly szám, mely rC A;-val nem osztható, akkor 1) egyenletünk, mivel m = (a+/t) következő leend: P=p+(x+h)k I. mely 2) tétel szerint k

n összes primitiv gyökeit elénk állítja. b) H a 1—1 osztható Ac

2-el, akkor P

k—

1—1 az esetben lesz csak osztható A

2-el, ha m osztható A:-val, miből P=p + hk II. alak következik, melyben h nem osztható A>val, s csak k

n primitiv gyökeit adja. Ha P azon értékeit akarjuk meghatározni, melyek (mod. /c

n)re incongruensek, akkor az I. és II-ben /t-nak csak <p (/Í'

1"

1) = k

a'\k—1) különböző értéket kell tulaj donitanunk, s ép ennyi primitiv gyököt kapunk (mod. /c

n)-nek megfelelőt. 4) Ha modul, primitiy gyökeinek száma <p[&

n1(A;—1)]. Az 1) szerint (mod. /c

n) minden egyes primitiv gyöke, gyöke (mod. Ac)nak is; az iménti 3) szerint (mod. A:)nak minden egyes, <p (k—1) számú primitiv gyöke •p(A;

n_

1) számú primitiv gyököt szolgáltat (mod. k

n)hez ; tehát (mod. k') összes gyökeinek száma <p {k—1) <p (t

n_

1) = <p [&

n_

1(/c—1)]. 5) Ha i valamely páratlan törzsszám, akkor (mod.k") minden páratlan primitiv gyöke egyszersmind gyöke lesz (mod. 2A

n)-n ak is s megfordítva (mod. 2k

a) primitiv gyökei, gyökei (mod. k")-nek is. Legyen a valamely páratlan A-val nem oszható szám, s legyenek m ós ÍK, azon kitevők, melyekhez a (mod. k

m) és (mod. 2A;

n)-re tartozik, lesz tehát: u

m - 1 (mod. k

n) és a

m• = 1 (mod. 2k

n).... 1) ez utóbbi congruentiából egyszersmind a'"' = l (mod. k

n) is következik, tehát í«I többese az wi-nek; ezen felül a páratlan, tehát u

m= 1 (mod. 2) s ép ezért az 1) congruentiák elsőjéből a

m = 1 (inod. 2k

n) is következik, tehát m többese az W^-nek, mi csak ugy lehetséges, ha m = ÍM, azaz a fölvett szám ugy (mod. A") mint (mod. 2A

n)re egy ugyanazon kitevőhöz tartozik. Mivel továbbá <p (2k

n) = <p (k

B) = k

n~\k—1), tehát, ha a fölvett a szám primitiv gyöke (mod. /c")nek ugy az lesz (mod. 2/c")re is. 0. A primitiv gyökök száma (mod. 2/c") ós (mod. A.

n)re egyenlő. Ha ugyanis (mod. k

n) primitiv gyökei közül kiválasztjuk a páratlanokat s melléjük sorozzuk a párosokat A,"-el nagyobbítva, akkor 9 [®(/c")] számú primitiv gyököt nyerünk (mod. 2A;

n)-re.