Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 46 — p

m

k" =1 (mod. A

n), mi csak akkor állhat meg, ha m=* (A — 1), ez esetben pedig l)-böl következik, hogy p primitív gyöke A-nak. 2) Ha p primitiv gyöke (mod. A)-n ak, primitiv gyöke k—1 lesz (mod. A

n) is, ha p—1 nem osztható A-val; ha pedig A osztható, nem lesz primitiv gyöke. Tegyük, hogy (mod. A

n ) érvényes, akkor p

l=\ (mod. A) is áll, s mivel föltevésünk szerint p primitiv gyöke A-nak, ez utóbbi congruentia miatt nyilván t többese a (A—l)-nek. Ezen felül t osztója a ©(A

1

1 )=A

n-'(A—l)-nek, tehát lehet pl. í=A>-(A-l),hol 1. Ha már most le azon hatványának, melylyel —1 osztható, kitevője i akkor /j

k_

1=l +ak

l, hol a incongruens a A-val; A hatványra emelve: p

k(k_

1>=l-h a

1A

1+

1, mivel a származott hatványtagok az első kivételével =0 (mod. A

i+

1) ép igy ujabb hatványozások után : pk'(k-l)

=1+a

2/

ci

+2 mely utolsó egyenletből következik, hogy legkisebb értéke, melyre p

k

)'<

k~

,)=l (mod. A" ) congruentia megállhat, csak l=n—1 lehet; mert ha X=n—t-ben i—1, akkor \=n—1, tehát p

kn_1(k_1

)=l (mod. k" ) congruentiából tovább következik, hogy p a <p(A

n ) kitevőhöz tartozik, azaz valóságos primitiv gyöke A

n -nek. Ha pedig 1—n—t-ben t^l, akkor 1 ^n—1, tehát p oly kitevőhöz tartoznék, mely-^<p(A" )-nél, azaz nem lehetne primitiv gyök. 3. Ha A páratlan törzsszám, akkor mindegyik primitiv gyökének k

n~"(k— 1) számú primitiv gyök felelmeg (mod. k" )-re. Legyen A-nak 0 ós A—1 közt fekvő primitiv gyöke p, akkor a p-vel congruens primitiv gyököket P=p-\-mk. . . 1) adja, hol m egész szám, s közelebbről meghatározandó. Emeljük e célra 1) kifejezést (A—1) hatványra, lesz: Pk-i = p

k-i + + vagy f

k_

i—i = /i

k_

i—i++ .... Ha ez egyenlőséget A

2-al osztani akarjuk, minden egyes tag osztható, csak az előrész ós p

k_

1 — 1 marad kétes. Tegyük föl