Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 40 — pl. k hatványra emeljük, e hatványok összege congruens 0 (mod. Ic) -ra, ha X nem többese 9-nak; ha pedig "k többese 9-nak, akkor az összeg congruens 9-val (mod k.) Az összeg x

l +x

2

l+x

n

l + x

4

X+ + a>

q

X = 1 •+x

X + x

2

1 + £C

3

X+ ... +

£c

q

xx = s. mely mérlani lialadvány összege s = —y 1) x— 1 afl* —1 x

X—l Azonban —1=0 (mod. k), mert CC^SEI (mod. k) nyilván ] ; e k " !

„ = egész szám pl. s, tehát 1-böl s - 2) Ha 9 többese >. akkor xk—1 többese /c-nak, pl. xk—l—ek, kövétkééit zik tehát, hogy — hányados semmi esetre sem lehet k többese, mert abból k kiesik ; mivel tehát "ka q többese, minden ily hatvány, maradékul 1-et ad, s mivel 9 számban fordulnak elő, nyilván ezek összege =9 (mod. k). Ha pedig k nem többese a 9"-nak, akkor xk -1 sem lehet a k többese, tehát viszonylagos törzsszám, következik, hogy 2) egyenlőségünk csak ugy lehet egész szám, hogy e többese az (xk — l)nek, tehát s = 0 (mod. Ic). így pl. (mod. 61-re 5 kitevőhöz tartozik 9, maradék szakasza 9, + 20, - 3, — 27, + 1 = 0 ezek négyzetei: 20 —27 +9—3 + 1=0 „ harmadik hatványai: — 3 + 9 —27+20 + 1=0 „ negyedik „ — 27 — 3 + 20+ 9 + 1 =0's végre B + 1 + 1+1 + 1 +1=5 (mod 61.) A primitiv gyökökről. 13. §. A primitív gyök fogalma s lelietsége. Eddigelé láttuk, hogy a (A—1) törzstényezöinek mindegyikéhez találtunk hozzá tartozó számot. E számok közül különösen kiválnak sajátságaikkal azon számok, melyek a (4—1) kitevőhez tartoznak. Ily p számot, mely (mod. k) mellett a k— 1 kitevőhöz tartozik, a k szám primitiv gyökének szokás nevezni. E meghatározásból könnyű belátni, hogy a primitiv gyök a modultól függ. Vizsgáljuk meg: lesz-e bármely tetszőleges számnak primitiv gyöke ? Vegyük azonnal a k modult összetett számnak s bontsuk szét törzstényezőire, legyen k = a? $ hol a, b, c egymástól különböző törzs-