Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 30 — a, <ot; feltevésünk teliát, hogy létezhetik j-nál kisebb kitevő, hamis; tehát ABC... minden a 5-nál kisebb hatványa különböző az 1-től, vagyis ABC a q kitevőhöz tartozik. Beigazoltuk tehát, hogy minden körülmény közt létezik oly x szám, mely a k — 1 adott q tényezőjéhez mint kitevőhöz tartozik. II. Eljutottunk feladatunk második részéhez : hány ily szám létezik ? Hogy célhoz ju?sunk, tegyük föl, találtunk oly h számot, mely q kitevőhöz tartozik, tehát A

<

!=1 (mod. k) s ha ezt a 2, 3, 4 . . . 5-dik hatványra emeljük, a congruentiák következő sora áll elé: /t'"=l (mod. 7r), (^)

q=l (mod. k), (h*)i=l (mod. k) .. . (/i

q-i)<"=l (mod k), (mod. k); tovább ismétlések elkerülése nélkül nem mehetünk ; mert a következő tag lenne (/ti+

1)'

1=(A'

|)i. /t'i=/t

q=l s igy igy következnének a föntebbiek újra egymásután. Föntebbi ccngruentiáink alapszámai h, h

2, A

3, h* . . . /(

q~hvagy 1, h, h

2, h

3. . . h'

{~

1 a (mod. k)-ra incongruensek, tehát h e különböző hatványai az a?

q=l (mod. k) congruentia összes s lehetséges gyökeit állítják elénk ; mert egyrészről x helyett téve a congruentiának eleget tesznek és incongruensek; másrészről számuk épen ezen q fokú congruentia lehetséges gyökeinek száma. E gyökök közt lesznek tehát mindenesetre azon számok is, melyek a q kitevőhöz t artoznak, ezeket kell tehát a többiből kiválogatnunk s számukat meghatároznunk. Ebben segítségünkre lesz a következő tétel: Ha rés q viszonylagos törzsszámok s/tag kitevőhöztartozik, akkor a h

r szám is a q kitevőhöz fog tartozni. Mivel h a ^-hoz tartozik, áll: ^

q=l (mod. k), tehát áll (h

ry=h

r

íi==l (mod. k). Ha /í

r-nek nem q, hanem q

t hatványa volna az a legkisebb hatvány, mely az 1 -el congraens, akkor nyilván állna (h

r)

q

i =/í

r<I

I=l (mod. k) congruentia is, s mivel h a q-hoz tartozik, következik, hogy q tényezője az r^-nak ; ámde r és q viszonylagos törzsszámok, tehát q csak a ^,-nek lehet tényezője, mely következmény nem állhat meg s az ellenmondás csak ugy szűnik, ha q

t—q. A (mod. k)-ra incogruens s a q kitevőhöz tartozó számok tehát h föntebbi hatványainak sorában vannak, melyek kitevői kisebbek a g-nál, tehát 0, 1, 2, 3 . .. q—1 ; s mivel csak azon számok használhatók, melyek kitevője a ^-hoz viszonylagos törzsszám, önkényt elé áll az adott q kitevőhöz tartozó számok száma következőben : A mod. (k) mellett adott q kitevőhöz tartozó számok száma egyenlő a 9-nál kisebb s hozzá viszonylagos törzsszámok számával, azaz ?(q). III. Feladatunk harmadik része: az adott modul mellett az adott kitevőhöz tartozó számok fölkeresésére irányul. A megelőző I. a) b) c) pontja alapján az adott kitevőhöz tartozó