Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

- 27 — =7

86

5« (mod. 13) ? Mivel 86549=8 (mod. 13), nyilván 786549=78= + 3 (mod. 13). E tételből egyszersmind következik, liogy x

s és ce

S

i hatványok (mod. Zr)-ra csak ugy lehetnek congruensek, ha s=sj (mod. q)-, mert ha .9,=?', (mod. q), akkor x

s>=x

r' (mod. 7c), ha pedig x

s=x*< (mod. k), akkor nyilván x

r=x

T> (mod. k) congruentiának is kell állni; s mivel r ugy r, kisebbek g-nál, tehát x

s=x

s> (mod. k) csak ugy lehetséges, ha r=r, vagy is s=sj (mod. q), 4) Ha az x incongruens hatványainak 1, a, x

2, x\ x

A £c

k_

1 sorát összeadjuk, mindenkor állni f

0g: H-a4-a

2+a

8 + . . . +a

q_

1=0 (mod. k) congruentia. Beigazolására vegyük föl" (1 +x+x

2 + . .. +xi~

1)(x—l)=a

q—1 egyenletet, melyből, mivel a

q —1=0 (mod. k)

1 azonnal következik, hogy (l+a+®«+ • • • +as

q1) (a—1)=0 (mod. k), már pedig a^l, tehát a?—1=0 (mod. k) semmi körülmény közt meg nem állhat , kell tehát, hogy állitásunk lépjen érvénybe , azaz 1 +x + x

2

Jr . • . +• £c

q_

1=0 (mod. k). Ha föltesszük, hogy a=l, akkor q — 1, már az első tag congruens az 1 -el s ekkor a haladvány csak egy tagból áll. 11. §. Az adott kitevőhöz tartozó számok meghatározása. Vegyük föl, hogy a k modul törzsszám. Mint előbb láttuk, csak a (k—1) tényezője lehet oly legkisebb kitevöj e SÍZ cc számnak, melyre ez hatványozva az egységgel lesz congruens. Azon kérdés merül föl, váljon ha a q tényezője a (k—l)-nek, lesz-e mindig e q kitevőhöz tartozó szám? s ha igen, hány ? s hogyan kereshetők azok föl ? Feladatunk tehát 3 kérdés megoldásából áll; lássuk ezeket egyenkint. I. Mindenkor található oly Q szám, mely a k—1 adott q tényezőjéhez tartozik, bármint alakul is ezen q tényező a k— 1 törzstényezőiböl. Az adott q kitevő, mely k—1 tényezője, lehet a) a (k—l)-nek egyszerű tőrzstényezője pl. k—1 =qq\; b) valamely törzsszám hatványa pl. CT B Y a<*; c) több törzsszám hatványának szorzata pl. q=a b

1 c ... a) Az adott q kitevő a k — l-nek tőrzstényezője, tehát k—\—qq

x: ekkor £c

q

i=l (mod./.'.) congruentiánaklegfellebb qi számú megoldása lehet; mert ha az 1, 2, 3, 4, . . . k—1 sor számait egymásután x helyébe tesszük, legföllebb q

x számú felelhet meg ama congruentiának s e számsorból visszamarad k—1—<?, tag, mely q^-re hatványozva az 1-el incongruens maradékot ad. Ha tehát x helyett egy ily számot ve-