Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 28 — k—1 szünk, akkor okvetlen £c

q'=ír q =h (mod. k.), hol tehát h az egységtől elütő; ha e congruentiát a q hatványra emeljük, lesz ce

k~'=A

qsl (mod. k). Azonban ha ezen h szám valósággal a q kitevőhöz tartozik, nem elégséges még, hogy /i

q=1 (mod. k.); hanem kell, hogy h

1

1 legyen egyszersmind a legkisebb hatvány, mely az egységgel congruens. Tegyük föl tehát:/''

1 nem a legkisebb hatván}', hanem h az, melyre lfi=\ (mod. k.) érvényes, akkor o a qtényezője, mi azonban,mivel q törzsszám, másként nem lehetséges, mint csak ugy, ha S=1 vagy <í=l nem lehet, mert h különböző az egységtől, tehát a <>—q kell elfogadnunk, mi épen azt bizonyitja, mit állítottunk. Tehát ha q a k—l-nek egyszerű törzstényezöje, mindig található h-ban oly szám, mely q-hoz mint legkisebb kitevőhöz tartozik. Jegyzet. Lehetséges azon eset, hogy q szorzója t. i. q

t=k—1, akkor az 1, 2, 3 . . . k—1 számsor tagjainak helyettesítéséből egy tag sem záratik ki, de nem is szükséges, mert ez esetre as

q

,=sc

k"

_

1=£c=l (mod. k) congruentia lehetőségét nem is kell igazolnunk, mert első fokú és a változó as=l értékével meghatároztatott. b) H a a q a (k— 1) valamely törzsszám ténj^ezöjének hatványa. Legyen ily törzstényezö a és 5=a

a 'be kell tehát igazolnunk, hogy létezik legalább egy oly h szám, melyre h"*= 1 (mod. k) megfelel. Az 1, 2, 3 ... k— 1 sorban a megelőző a) szerint mindenesetre talák—1 lunlc oly g számot, melj' g " =/ÍI (mod. k) feltétnek, hol //, különböző az 1-től, megfelel; már pedig ha g" <1, kell, hogy g

ac

í <1 legyen. Tegyük, k—1 hogy q«<*=l (mod. k), akkor az rt

a~

1 hatványra emelve, a j [k—1)« (k—1) ' k-1 ga* = g"*"=ga =l«

_

1==l (

mod. k) következnék, ellenmondásban k—1 azzal, hogy g" különböző az egységtől , állithatjuk tehát , hogy k—i g

a

a (mod. k), hol a h ismét különbözik az egységtől. Ha ez utolsó a congruentiát ft

a-ra hatványozzuk, h

a=\ (mod. k); mivel 9

k_

1=l (mod. Ic), azaz minden közülmény közt találunk oly h számot, mely az a'—q kitevőhöz tartozik. Ki kell azonban meg azt is mutatnunk, hogy /i-nak az «

a-nál nincs kisebb hatványa congruens az 1-el. Ha ilyen lehetséges volna s azon legkisebb hatvány, melyre h hatványozva az 1-el congruálna, pl. lenne, akkor o mindenesetre tényezője az a«-nak, tehát k-l $=0'" alakú, hol p<x. Azonban g««=h (mod. k) congruentiának «

a—

1