Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 26 — nyezöje a többinek. Ha A: törzsszám, akkor a legkisebb q szám tényezője k—l-nek, mi nem zárja ki azt, hogy q~k—1 is lehet. 2) Ha x a ^-hoz tartozik, akkor 1, x, x

2, x

3 . . . £c

q_

1 hatványok a (mod. i)-ra incongruensek, incongruensek tehát a hatványok helyett vett legkisebb maradékok is. Tegyük föl, hogy létezik két congruens hatvány, pl.£c

m =x

n (mod. k) s ha >w>n, akkor x

n{x

m~°—1)=0 (mod. k). Azonban mindenkor érvényes feltevésünk szerint: x és k viszonylagos törszámok, tehát x bármely hatványa is viszonylagos törzsszám k-hoz, tehát congruentiánk csak ugy állhat, ha feltesszük, hogy o?

m~

n==l (mod. k), mi nyilt ellenmondás, mert m és n már önmaga kisebb a j-nál, tehát léteznék (wi-n)-ben kisebb kitevő a legkisebb g-nál; mi természetesen meg nem állhat. 5° 5i 5

2 5

3 így pl. (mod. 13)-ra k—1=12; 5 tartozik q=4-hez, ^ g 70 71 72 73 74 75 76 7- 78 79 710711712 7 tartozik g=12-höz, mert 1 _

6_

3+

5_.

4 _ 2_

1 + 6+

3_

5+4+2

+ , 90 91 92 93 94 9» 90 9 „ 7=6-hoz 1 — 4—3—1+4+3+1 11° ll

1 ll

a ll

3 ll

4 ll

a 11

611

711

811

9 ll

1

0!!

1

1 II

12 11 „ q— 12-hoz ] —2-4—5—3 — 6 —1+2 +4+5+3+6 + 1 Jegyzet. A maradéksor képezésénél, mivel azok (mod. &)-nál kisebbek, következő szabályt követhetjük: Az x helyébe fölvett számmal szorozzuk a közvetlen megelőző maradékot, ha kisebb a szorzat a modulnál, marad; ha nagyobb, osztandó a modullal s az osztás maradéka lesz a keresett maradék. Ha a legkisebb maradékok sorát akarjuk (mint fentebbi példában), akkor a ^ „ ^ nél nagyobb maradékok helyett vehetjük ezeket a modulig kiegészitő számokat negativ jegygyei. így 7 (mod. 13—1 13)-ra 12-höz tartozik 7

1

=7, de —=6-nál nagyobb , tehát mivel 7=—6 (mod. 13) nyilván a +7 helyett tehető — 6 s ezzel megyünk tovább ; +7-el 7

2 lenne 49=10 (mod. 13), de 10= 3, tehát 10 helyett —3 vehető, ugj^anerre jutunk, ha—6-ot visszük föntebbi szerint a számításba — 6.7=-42=—3 (mod. 13.) 3) A föntebbi 1) alatt láttuk, hogy ha az x hatványozását a q kitevőn túl folytatjuk, a maradékok ugyanazon sorrendben térnek vissza. E körülményből a fölvett x szám tetszőleges hatványának maradókát határozhatjuk meg; mert ha x a q-hoz tartozik és s=nq + r, nyilván #

s=a

I1

<i+

r=a

n'i. a

r (mod. k), s mivel a"'i=l (mod. k), nyilván cc

s=a

r (mod. k)- tehát a hatványkitevöt osztanunk kell azon kitevővel, melyhez x tartozik és az r kitevőhöz, mely <g

r-nál, tartozó maradékkal lesz x

s hatvány congruens. Pl. (mod. 13)-ra 7 a 12-höz tartozik: mivel lesz