Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

tört coefficienst vegyük is föl a számlálóban p mint tényező szerepel, mig a > pwi nevezőben nem, tehát

r alakú, hol n és p viszonylagos törzsszámok; másrészről tudjuk, hogy e tört egész szám, tehát m=0 (mod. n) vagyis in • - —q egész szám, s igy a coefficienseket pq alakkal fejezhetjük ki, pq=0 (mod. p), tehát (a + &)

p=a

p + &

p (mod. p), igy haladhatunk tovább 3 vagy több tagra s ekkor (a + b+c+d . . .)

p=a

p4 6

p + c

p-l-d

p . . . (mod. p). !gy pb (2+3+4)

5=2

5+3

s+4

5 (mod. 5) 9

5=32 +243+ 1024 (mod. 5) vagy 9

5= 1299 (mod. 5). 3) Ha e 2) pont alatt nyert eredményben a=b—c—d . . . =1, akkor bármely positiv m egész számra m

p=m (mod. p) . . . 1) s mivel minden p törzsszámra (—l)

p=—1 (mod. p) ... 2), még ha p=2 akkor is (- l)

p=l =—1 (mod. p), e kettő szorzatából (—m)

p= — m (mod. p), miből (—m)

p—

:—1 (mod. p), tehát Fermat tétele a negativ számokra is érvényes. 10. §. Az adott kitevőhöz tartozó számokról. 1. Fermáttételénél tehát láttuk, hogy azon hatvány, melynek kitevője <f(k) s alapja a k modulhoz viszonylagos törzsszám, congruens az 1-el; általában azonban sem az egyedüli, sem a legkisebb kitevő, melynél ez bekövetkezik; nem lehet az egyedüli már csak azért sem, mert a5¥C0=l (mod. k), ha wi-ik hatványra emeljük, lesz £c

mS(

k>=l (mod. k), tehát mindazon hatványok, melyek kitevői többesei a <p(&)-nak hasonlókép congruensek az 1-el; de nem lesz mindig a legkisebb sem, mert igen sok esetben találunk oly kitevőt, mely kisebb a <p(A)-nál s x arra hatványozva, congruens lesz az 1-el. Nagyon természetes, hogy minden körülmény közt fog létezni oly legkisebb kitevő, melyre x hatványozva az 1-el lesz congruens, s minden más, akár kisebb, akár nagyobb hatványra emelve, azzal incogruens hatványt ad. Legyen ily kitevő q, akkor £C1=1 (mod. k) s ekkor azt mondjuk, az tcalap a q kitevőhöz tartozik. Tartozzék x & q kitevőhöz s legyen r>q és cc

r=l (mod. k), akkor r=s<7+í, hol t<q, tehát cc

si+

t=a5

s

<J£c'=l (mod. k) s mivel (^"ssl (mod. k) nyilván (mod. k) Azonban a t azon maradék, mely előáll, ha r-et a <?-val osztjuk, tehát t<.q, vagyis léteznék oly t kitevő kisebb a legkisebb ^-nál, melyhez az x tartozik, mely ellenmondás csak t= 0 semmisülésével enyészik, minek folytán kényszerülünk r-et mint q többesét elfogadni. Ha tehát egy adott számot több hatványkitevő tesz az 1-el congruenssé, a köztük legkisebb té-