Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 24 — így oldható meg: x + 3y + 2=1 4x+ y + 5z=7 <> (mod. 8), 2x + 2 2=3 J hol D=15 a modulhoz viszonylagos törzsszám, tehát x, y, z-re csak eg}* értéket nyerünk s ez ; a;=6, y=4, z=7 (mod. 8). 9. §. Fermat-tétele. 1) Ha fölvesszük ax kifejezést, melyben á és (mod. k) viszonylagos törzsszámok, s abban x helyett ez incongruens számok teljes rendszeréből azokat helyettesitjük, melyek a k-val viszonylagos törzsszámok — legyenek ezek a

1

} «

2, a

3 . . , <p(k) számban, akkor aa,, ax

2, ax

3 stb. szorzatok és a k modul viszonylagos törzsszámok, egymásközt szintén viszonylagos törzsszámok, (mod. A;) mellett; mig a,, a

2

) a

3 . . . stb. sor tagjaival (mod. k)-v& bizonyos sorrendben congruensek, legyen pl. aa,=[i,, aof.

2=%, aa

3=[i

3 (mod. 1c), hol «i a maradékokkal bizonyos sorrendben congruensek, tehát aia

2a.

3 . . . =[Í,f:í

2(3

3=Z

J. Ha az iménti congruentiákat szorozzuk s nem feledjük, hogy ezek száma o(k), akkor P. a?(k)=P (mod. k) s mivel P viszonylagos törzsszámok szorzata, tehát a modulhoz szintén viszonylagos törzsszám következik : a?(k)=l (mod. k), azaz: Ha valamely A: modulhoz viszonylagos törzsszámot (a) a modulig előforduló viszonylagos törzsszámok számára <a(k) hatván ózzuk a hatvány (mod, &)-ra congruens az egységgel. Pl. a=3, 4=5, <p(fc)=4, tehát 3<=1 (mod. 5), ép igy 2«=16==1 4

4=256=1, 6*=1296=1 (mod. 5). A modul lehet: a) valamely törzsszám, mint előbbi; b) valamely törzsszám hatványa; c) valamely összetett szám. Lássuk ezeket is. b) Ha a modul valamely törzsszám hatványa, pl. k=p

r-, akkor <p(fc)=(p—ljp*1,tehátFermatjtétele ez esetre: a

<p1>

I

,"~

1=l (mod. p

r-.) c) Ha a modul valamely összetett szám. Ily modul mindig felbo nt ható törzsszám- vagy ezek hatványainak tényezőire. Legyen pl. k—p' r? tehát <p (7c) = . <p (r°). 9 (s

a) s mivel ? (f-) = (p-1) ? (,*) = (r— l)^1, 9 («') = (í-iy1, (mod. k) átmegy a^1**1 • (

r—

1. («—i)

s<1—

1 == 1 (

m

od. p~.rp. s°) 2) Ha a modul (p) valamely tevőleges egész szám, akkor Newton binominálja szerint: hol a coefficiensek mind egész számok. Ha p törzsszám, akkor az első és utolsó coefficiens kivételével a többi mind =0 (mod. p), mert bármelyik