Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881
— 10 — megoldási módot akarok felemlíteni. Ha a fölvett congruentiában x helyett sorban 0, 1, 2, 3, ... . (k—1) értékek helyettesittetnek a föntebbi a) szerint a congruentia ax tagja k számú (mod. /c)-ra egymás közt incongruens értéket állit elénk, ezek közül egy minden esetre =0 (mod. k) s az ezen számot létrehozó x értéke a congruentia egyik gyöke. így pl. 7x -18ss0 (mod. 11), tehát ha £c=0 123456789 10 —18 —11 —4 3 10 17 24 31 88 45 52 ezek közül csakis —11=0 (mod. 11), ez pedig x=l értéke mellett állt elé, tehát a congruentia gyöke, minden többi gyök az ezzel congruens számok osztályában van, melyek általános képviselője oj=llnLl lineáris alakban van, tehát jelen esetben :r=l, 12, 23, 34, 45 stb. Vagy 7a;+5=0 (mod. 9)-nél, ha x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 12 19 26 33 40 47 54 61, ezek közül 54=0 (mod. 9) s ezt eredményezte 7, tehát a congruentia egyik gyöke 7, minden további x=9n + 7 kifejezésében van. E megoldási mód apró modulok mellett czélhoz vezető, de már nagyobb modulok mellett szörnyű fárasztó, czélszerü lesz tehát az egyszerűbb módok után nézni; vegyük azért a föntebbi eseteket egyenkint. a) Ha aas=+e (mod. k). congruentiában a és k viszonylagos törzsszámok. Ismeretes, hogy két egymásra következő közelitő tört, ha való törthöz tartozik : Z m iVm-i — -Zm—1 N m — (—l) m_ 1 és ha áltörthöz tartozik Z m N m—\ — Z m—t N m = (—l] m egyenletnek hódol. Legyen már most ?- az m tagu lánctört értéke, akkor Z m — a ós N m = l> és f^"-' K A m—X az utolsó előtti közelitő tört, feltéti egyenletünk tehát: a2V m_i — bZ m-\ — || jl n lesz, mely egyenlő jelentésű aiV m_i= | | (mod. k) congruentiával, melyből még (—l)-el szorozva, következik: a — N m-1 = | (mod. k). Mindezekből könnyű belátni, hogy ax=+c (mod. k) általános congruentiának, melyben c tetszőleges positiv vagy negativ egész szám, megoldása mindig visszavihető acc=+l (mod. k) congruentiának megoldására,mely az x=+N m—i számmal mindig megoldatik és pedig a legkisebb positiv vagy negativ számmal, mert ugyancsak a közelitő törtek tulajdonságai szerint 2V m_i< N m és-V m-i< b. Hogy az aa?=+l (mod. k.) congruentiával az ax=+ c (mod. k) is megoldatott, kitűnik abból, ha
