Dr. Kocsis Lénárd: A Pannonhalmi Főapátsági Szent Gellért Főiskola évkönyve az 1941/1942-I tanévre

Dr. Sárközy Pál: A körmérés

Áll tehát • . [,(>+!) •(» + ».)]> 1 " v{p— 1 )! Más alakban írva \U(v)\ <{v + i)...(v + m)e- ... (5

) Az e* minden £ mellett konvergens, tehát a sorbafejtésénél föllépő a^p-i ——— tag az x minden értéke mellett a nullához közeledik. így az (5) jobboldalának második tényezője a p megfelelő választása mellett tetszésszerinti kicsivé tehető. Ezzel az (5) jobboldala is és m vele együtt a £C

vU(v) kicsinyíthető annyira, hogy abszolút v— 1 értéke 1-nél kisebb lesz. A p megfelelő választása mellett a (2) egyenlőség tehát nem állhat, mert egész szám és törtszám összege nem tűnhet el. Ezzel az e transzcendens volta bizonvítva. 26. A jc transzcendens volta.

1 Hasonlókép bizonyítható, hogy a n is transzcendens szám. A bizonyításnál alapul szolgál az l + = 0 (1) kapcsolat, mely összefüggést állapít meg az e és TI számok között. Feltesszük, hogy a TI és így in is algebrai szám, tehát gyöke a y (x) = 0 (2) algebrai egyenletnek, melyben az együtthatók racionális egész számok. Ha v az egyenlőt fokszáma és y

2. . . . y

v a gyökök, akkor az (1) miatt (1 + e*) (1 + ... (l-f- ey

v) = 0. A szorzást elvégezve kapjuk 1 + U e

y

i + U e

y<+

y* + U evi+v*+v' + . . . = 0 (3) Itt a 2 e

y' kiterjed a (2) összes gyökeire, 2 e

v*

+

v* két-két gyök öszszegére, 2] ev*

+

v*

+vi pedig három-három gvök összegére ... Az