Dr. Kocsis Lénárd: A Pannonhalmi Főapátsági Szent Gellért Főiskola évkönyve az 1941/1942-I tanévre

Dr. Sárközy Pál: A körmérés

intervallum valós számai között olyanok is vannak és pedig végtelen nagy számban, melyek nem algebraiak, tehát transzcendens számok. Ezzel a transzcendens számok létezése bizonyítva. 24. A kitevős függvény.

1 Az e és TI transzcendens voltának bizonyításánál kiindulásul vesszük a kitevős függvény sorbafejtett alakját 1

/y» /yi2l -'Y»3 syTl *A/ Jj *As «A/ i a x ~T "2Í >3Í ' ' ' ' ~n\ " ' ••• W s ez érvényes minden valós és képzetes x érték mellett. Legyen az n tetszésszerinti pozitív egész szám. Egyenlőségünk mindkét oldalát /2/-al szorozva kapjuk = + U

n ... (2) s itt rn-\-l v-n -f 2 rn -i- 3 TT I I t / O \ " = '

r" 1 n+i + («+1) (n+2) + S+ÎHn+2) (re+3) ^ " " ( ) rc ! Az rc

n hatvány s-edik deriváltját írjuk = ——— alakban. Kz a kifejezés s > // mellett is használható, mert ekkor D

sx

n= 0. Ez alapon írható n\e

x=U

t

l H- fj .X» S=1 S=1 (4) 2 ! 6* = £/

2 + £Z)

v:r

2 s=l í\e

x=U

x S=1 Vegyünk egy w-edrendű az £ = 0 helyen eltűnő, egyébként tetszésszerinti /(x) függvényt f(x) = c

nx

n + c

M_, a:«1 + . . . + c^

2 + C

j x - (5)