Dr. Kocsis Lénárd: A Pannonhalmi Főapátsági Szent Gellért Főiskola évkönyve az 1941/1942-I tanévre

Dr. Sárközy Pál: A körmérés

23. Cantor György bizonyítása. ^ A sokaságeimélet tételei alapján egyszerűbben bizonyítható a transzcendens számok létezése. Valamely végtelen sok elemet tartalmazó sokaságot meg-.számláihatónak mondunk, ha elemei egyértelmű és kölcsönös vonatkozásba hozhatók a természetes számok 1, 2, 3, 4 sokaságával. Az összes algebrai számok megszámlálható sokaságot alkotnak. Ennek a tételnek bizonyítása úgy történik, hogy az összes algebrai számokat rendezzük, vagyis sorrendbe állítjuk. Ebből a célból az egész együtthatójú x

n + a

x x

n~

x -f a^c

n~

2 +.... + a

n= 0 egyenlethez hozzárendeljük az N = n—1 + I a

t I + I a

21 + . . . + | a

n \ egész számot. Fordítva minden adott A

T számhoz véges számú n, a

±, a

2 . . . a

n egész számok és így véges számú egyenlet is tartozik. Az N = 1, 2, 3 . . . értékekhez tartozó egyenleteket és ezek gyökeit is így rendezhetjük. Ez mutatja, hogy az összes algebrai számok megszámlálható sokaságot adnak. Viszont bebizonyítható, hogy a valós számok összesége meg nem számlálható sokaságú. Cantor György (1845—1918) 1874-ben bizonyította ezt be. Ha ugyanis az összes reális számok megszámlálható sokaságot adnának, akkor a (0, 1) számköz számait is sorba rendezhetnénk. Mindeme számokat tizedes tört alakjában írva fel kapnánk — 0 • a

x oc

2 a

3 . . . = 0 • ß, ß

2 ß

3 . . . = 0 • y I 72 yz • • • Az átlós eljárással fel tudunk írni olyan számot, amely ezektől különböző és szintén a (0, 1) számkörhöz tartozó valós szám. ilyen szám lesz s — 0 • a ß y . . ., hol a 4= a

l

5 ß 4= ß

2, y 4= y

3 . . . A (0, 1) intervallumhoz tartozó algebrai számok viszont megszámlálható sokaságot alkotnak. Látható tehát, hogy a (0, 1)