Dr. Zoltvány Irén: A Pannonhalmi Főapátsági Főiskola évkönyve az 1912-1913-iki tanévre

Sárközy Pál: A vector-számítás alkalmazása az infinitesimalis geometriára

44. A nabla-műveletnek alkalmazása a felületre. Tekintsük most az r = F (u, v) felületet úgy, mint az r = F (u, v, w) rádius-vector által meghatározott vectortér w-paraméter felületét, mely a w = c értékhez tartozik, vagyis r — F (u, v) = F (u, v, c). Ez esetben az előző pontban jelzett műveleteket pl. a w szerint vett differentiálást el kell végeznünk és azután a w — c helyettesítést hajtjuk végre. Az előző pont képleteiben a következő változások létesülnek : [r'

H r'

v] = Dn, n

3 = n, A, A

2 = D és így a (9) alap formula a jelen esetben a következővé alakul : K n)D\j= [?i r'J ~ + [r; + Dn™ (1) Az előző pontban megállapítottuk már a div r = 3 és rot r = 0 eredményeket, keressünk most újabb összefüggéseket. Az (1) alapján írhatjuk (<• w) D div n = r\, {{n

u V

v) + [r

u <]} + D n n'

w Ebből a 32. pont (11) képletének felhasználásával és nn'

w = 0 értéket helyettesítve létrejön (r'

w n) D

2 div n = Çr'

w n) (2 FM— EN— GL) és ebből az esetben, ha (r'

w n) =f:0, vagyis r'

w nem esik a felület érintősíkjába, kapjuk a 34. pont (6) képlete alapján div n = — H (2) Az előző pont (11) formulájából a mostani esetünkben kapjuk « n) D (äy ) b = (

ci [r

v <]) ~ + (d [r'

w rj) ~ + D [a n) ^ . . . . (3) Ezen képletből azonnal nyerjük a következő összefüggéseket (n K) L> (r'

u\j) r'

H = (r

u [r'

v <]) r"

n

n = (nr',.) D~r"

uw (n r'j D {r'

n \7 ) r'

v = (r

u [r

v r'

t

t]) r"

u

v = (h r'

w) D r"

%w (n r;

(.) D {r'

v

y ) r

H = (r'

v [r'

v

: r'

n]) r"

u

v = (nr'

w) D r"

uw (n r'J D (r'

v y ) r

v = (r'

v [r'

w V

u]) r„

u = (n r'

n) D r^

v. Ezen kapcsolatokból ered (^ V) ~

r'u = Ku (4) (Kv)< = (r

v\j)r

u = r;

i

v (5) (r'

vX7)r'

v = r';

v (6) Az (5) értelmében a 10. pont (5) képletéből kapjuk rot [r'

u r'

v] = 7

U div r

v — 7

V div r'

u (7)