Dr. Zoltvány Irén: A Pannonhalmi Főapátsági Főiskola évkönyve az 1912-1913-iki tanévre

Sárközy Pál: A vector-számítás alkalmazása az infinitesimalis geometriára

felület és a w felülete metszi egymást. Ha mindhárom paraméter állandóiakkor a tér egy pontját kapjuk az (l)-ből. Legyen most a vectortér egy pontja 0, melyet az r= F(u, v, ÍV) határoz meg. Ezen vectornak a változása ezen pontban az egyes paraméterek szerint r'

u du, r'

v dv, r'

w div. Ezen három vector általában ferdeszöget zár be egymással és a térben egy egyenlőközű hatlapot határoz meg, melynek az 0 pontból kiinduló átlója dr= 00' = r'

n du + r'

v dv -f- r'

w dw, köbtartalma pedig ds = r'

w [r'

H du dv dw. Vizsgáljuk most ezen parallelepipe30. ábra. donhoz tartozó felületi integrált. Az 0 PR' Q oldallapnál a felületelem vectora kifelé iránylik, tehát ellentétes irányú az \r'

u r'

v] vectorral és így df

3 = — [r'

u r'

v} du dv. Az átellenes oldallapnál az Ä-ben , dw

2, R

X — T ? W aw p R

U.

W ^ tehát RQ' = r'

H du + r"

n

w du dw + ... RP' = r'

vdv-f- r"

w dv dw + ... Az R Q' O'P' elemi területe tehát a negyedrendű végtelen kicsiket elhagyva df' — [r'

n r'

v] du dv + [r'

u r'í J du dv dw — [r'

v r"

u

v\ du dv dw. A két felületi vector összege df

s + df

9'={[KK.]— Kr'L]}dudvdw (2) Hasonló eljárással kapjuk az ORP'Q és PQ'O'R' oldallapokon dfx + df' = {[r

v r'i J — [V

w r';

v]} dudvdw (3) és végül az ORQ'P és QP'O'R' oldallapokon df

2 + df

2' = {[r; rU - [r'

t

l r'fj} du dv dw (4) Összegezve ezen felületi vectorokat, azt látjuk, hogy a parallelepipedon felületi vectorainak összege eltűnik, a mint a 9. pont eredményeiből is következik. Számítsuk ki most az r~= F (u, v, w) vectortér, illetőleg az általa meghatározott parallelepipedon segítségével a gradiens,, divergentia és rotatio kifejezéseket.