Dr. Zoltvány Irén: A Pannonhalmi Főapátsági Főiskola évkönyve az 1912-1913-iki tanévre

Sárközy Pál: A vector-számítás alkalmazása az infinitesimalis geometriára

egységnyi vectort, melynek végpontja épen a kivánt P

0 pontot adja. Vegyünk fel most a felület P pontjából kiinduló dr = r'

u du -f- r'

v dv (1) és dr = r'

u du -f- r'

v dv (2) vonalelemet. Ezeknek gömbi képe lesz dn = n'

u du -f- n'

v dv (3) és dn = n'

u du + n'

v dv (4) A felület azon két vonalelemét, melyek egyike merőleges a másiknak gömbi képére, egymáshoz conjugált irányoknak nevezzük. Annak feltétele tehát, hogy az (1) és (2) egymáshoz conjugáltak, drdn = L du du -f- M (du dv + du dv) + 1st dv dv — 0 . . . . (5) lesz, ugyanezen feltételt kapjuk dn dr = 0-ból is. Annak feltétele, hogy a dr önmagának conjugáltja drdn = 0 (6) egyenlőség, a mi azt mutatja, hogy az asymptotikus vonalnak van ezen tulajdonsága. A 34. pont (8) képlete alapján pedig mondhatjuk, hogy a főgörbületi irány merőleges a gömbi képére. Hasonlítsuk most össze a felület területelemét a hozzátartozó gömbi képének felületével. A felületen az (1) és (2) vonalelemek által határolt terület do = [dr Sr] = [r'

u r^] (du dv — dv 8m), ennek gömbi képe do

0 — [dn Sn] = [n'

u n'

v] (du St' — dv du). A do

Q területnek a do-hoz való viszonyát Gauss a felület P pontjához tartozó görbületi mértéknek nevezi, értéke tehát (

7

) K r

v] Ha ezen kifejezés számlálóját és nevezőjét szorozzuk «-el, kapjuk a 34-ik pont (7j) kifejezését. E szerint tehát a görbületi mérték a felület egy pontjában egyenlő a főgörbületek szorzatával A' /,•'/,>. <

K' Keressük most az n rádius-vectorral megadott gömbi felület alapmennyiségeit, a melyeket megkülönböztetésül a felület alapmennyiségeitől Eo, Eo, ... betűkkel jelzünk. Mindenekelőtt az \[n K] [r'

v r'

v] ] = — D \n [n <]] egyenlőség mindkét oldalát kifejtve a 6. pont (VI.) és (II.) képletei szerint, kapjuk D n'

u = (n [r'

u <]) r

v — (n [r

vn

u]) r\

t (9) >