Dr. Zoltvány Irén: A Pannonhalmi Főapátsági Főiskola évkönyve az 1912-1913-iki tanévre

Sárközy Pál: A vector-számítás alkalmazása az infinitesimalis geometriára

A tangens és normális egységnyi vectorának segítségével megállapíthatjuk a eoordinátarendszer kezdőpontjának távolságát az érintőtől és normálistól. Ezen hosszúságokra ugyanis áll t = (

r

v) = — % t

i vl_d (V) s' s

f du \cpj és n = = A t és n értékeit négyzetre emelve és összegezve kapjuk t

2 -j- n

2 = cp,

2 +cp

2

2 = r

2. Ezentávolságok felhasználásával megállapíthatjuk az origonak a tangensre és a normalisra vonatkozó talppontgörbéjét. Ezen két görbe egyenlete Qt = O ± (rv) v és Qn = o ± (re) x. Végül még meghatározzuk a görbe elemi területét, vagyis a síknak azon részét, melyet a görbe két szomszédos radius-vectora és a görbének ezek között lévő íve határol. Ezen elemi terület \r dr] = j (cp, cp

2' — cp

2 cp/) du ê

3 vector absolut értékével egyenlő, vagyis A síkgörbe egyenletét polárcoordinátákban is megadhatjuk. Ha ugyanis ëj a polártengely iránya és a ^ irányszögtől függő p(fr) vector mindig l

x irányú, akkor ezen vectoron e^ forgatást kell végeznünk, hogy a -fr irányba jusson. A görbe egyenlete tehát r = e^ p(fr). A tárgyalás azonban egyszerűbb, ha a polárcoordinátában adott görbét is a Descartes-féle coordinátarendszerre vezetjük vissza. Ha a görbe poláregyenlete p = p (&), akkor Descartes-féle coordinátákban a vector-egyenlete lesz r — p(-8") cos & íj + p(fr) sin •O- áj, (5) ebből az ívelem dr = (p' cos fr — p sin ft) $9" ë

t -f- (p' sin + p cos fr) ë

2 (6) négyzete pedig ^2=^2+^2)^2 (7)