Az Erő, 1924-1925 (8. évfolyam, 1-10. szám)
1925-03-01 / 7. szám
164 AZ ERŐ 1925. március hó. (Ó +lo+n+Ä+la+Ä+iVii) s így tovább. Azonban: 1 _ 1 ~2 ¥ ±+L>l=L 3 4 4 2 i+l+_L+i>i = l 5 1 6 7 8 8 2 i + ±+...+J_ + J,> 9 10 15 16 16 2 A megfelelő oldalak összegezése után azt kapjuk, hogy a baloldalon a valódi törtek összege áll, ami nagyobb, minit a jobboldalon szereplő végtelen sok számú x/2 összege. Azaz:- + 1 + -+.... 2 3 4 >1+1+1+ 2 2 2 2 ami azt mondja, hogy a valódi törtek végtelen sorozatának összege nagyobb mint a végtelen sok 1/2 összege, tehát: ez az összeg: 1,1,1 . . . , —+ —... in mf. 2 3 4 végtelen naggyá válik. Ez tehát egészen bizonyos. Kérdezzük azonban, hogy ha e törtek összege végtelen naggyá válik, hányat kellene összeadni, hogy összegül aránylag kicsiny számot: százat kapjunk? Hogyan is végeztük az előbbi bizonyításban az öszszegezést? Először egy törtet — az elsőt — vettük tekintetbe, azután az utána következő 2 darabot, majd 22=4, 23=8, 24=16, stb. számút összegeztünk és ezen részletösszegeket adtuk össze. Végtelen sorunkat tehát a következő részletösszegekre bontottuk: 1 első részletösszeg: második harmadik negyedik ! + 1 3 4 l+l+L+i 5 6 7 8 1 9 ’ + • ■ • + 1 10 16 ötödik hatodik ' + 1 + 17 18 + 1 32 — -f — + ■■■+-33 34 64 és így tovább . . . Látjuk innen, hogy a hatodik részletösszog 1/64-del végződik, ami az eredeti törtek sorában a 64-ik, tehát a 2e-adéktag. Az is világos továbbá, hogy az egyes részletösszegek mindegyike, az első kivételével, nagyobb 1/2-nél, tehát az első hat összeadandó összege nagyobb 6X1/2-nél, azaz: 3-nál. Ennek következtében a kétszázadik részletösszeg a 2290 taggad fejeződnék be és így e kétszáz részletösszeg összege bizonyosan már 100-nál nagyobb eredményt adna. Más szóval: bizonyosak lehetünk benne, hogy ha törteink közül 22U|> számút adunk össze, akkor már a kitűzött számot, a százat, feltétlenül meghaladtuk. Hogy képzelhetjük el magunknak ezt a számot: 2290 g Mindenesetre gondolhatjuk, hogy ez valami nagyon nagy szám lőhet, de meg fogjuk mutatni, hogy elkápzelésénél a legmerészebben szárnyaló képzelet is cserbenhagy bennünket! Kiszámították ugyanis, hogy ha minden egyes tört leírására átlag csak két-három centiméter hosszú helyet hagyunk, — ami semmiesetre sem túlzás, mert a sorban később igen sok jeggyel leírható számok fordulnak elő törteink nevezőjében — úgy olyan hosszú pairosszalagra van szükségünk,- amelyet a húszezer fényév átmérőjű tejút csillagrendszer köré göngyölítvén fel, az így előálló papirosköteg vastagsága félmillió kilométer vastag volna! Lássuk, helyes-e ez az adat? 1 év = 24X60X60X365 másodperc, ami kereken 32,000.000 másodperc. 1 fényév- = 32,000.000X300.000 kilométer = = 9,600.000,000.000 kilométer, ami kereken 1013 kilométer és így 20.000 fényév kereken: 2X1017 kilométer. Enntek következtében a tejút csillagrendszer kerülete, ha azt körnek tekintjük, körülbelül: 6X1017 kilométer. Fenti adatainlr-szerint tehát, ha minden tört leírására csak 2 cm. hosszú helyet számítunk, egy kilométer hosszú papírszalagon 1000X50 = 50.000 tört férne el. Olyan papirszallagra pedig, amely a tejút csillagjainak köralakú rendszerét körülérné: 50.000X6X1017=3X1022 számú tört volna írható. Ez a szám azonban még nagyon messze van 2290-tól! Miután 2290 körülbelül 1-6X10°, azért a papírszalagot P6 X 106° , 3 X 1022 azaz megközelítőleg 0-5X103S-szor kellene- körülcsavarni. Tegyük fel, hogy a papirszallagot százszor körülcsavarván, 1 cm. vastag papirréteg állna elő, úgy 100X100X1000=107, azaz tízmillió körülcsavarásra volna szükség, hogy egy kilométer vastagságot érjünk el. Az egész papirgöngyöleg vastagsága tehát ezek szerint: 0-5 X 1038-szer, 105 = 0'5 X 1031 kilométer volna. Ez azonban ismét olyan nagy szám, amelynek a. felbecslése szédítő eredményre vezet. Payirgöngyölegünk vastagabb volna, mint az a térrész, amelyen az egész tejút csillagrendszere elfér! Gondoljuk el végül, hogy törteink közül olyan keveset adtunk csak közre, amelyek eredményül százat adtak. Milyen vastag volna papirgöngyölegünk. ha annyi törtet kellene összeadni, amelyek nem százat, hanem ezret, vagy talán egy milliót adnának eredményül? Pedig az egy millió milyen kicsiny szám még a számóriások fenti birodalmában! De a mathematika győzhetetlen. Ott kint, a meseszerű nagy távolságban, törteink sorozatában a kótszázudik részletösszeg a kétszázegyediktől csak „végtelen“ kicsinnyel különbözik, amely különbség azonban ugyanazzal a pontossággal megadható, mint amilyennel bárki dolgozhatik az első összoadandók sorában. Milyen hihetetlenül sok törtet kellene még azokhoz hozzáadni, amelyek már összegül százat adtak, hog>" esak százegyet kapjunk. Még elképzelhetetlenebb azoknak a száma, amelyele az összeget százegyről százkettőre emelték. Hol vagyunk pedig még az ezertől, vagy éppen a milliótól! Metri-e valaki tehát azt mondani, hogy ő a végtelenség fogalmát pontosan el tudta képzelni?
