Vízügyi Közlemények, 2001 (83. évfolyam)

2. füzet - Reimann J.-Fehér J.-Gáspár J.: A mértékadó vízhozam hossz-szelvény meghatározása

252 Reimann J.-Fehér J.—Gáspár J. A

n halmazok egyikén sem futnak át. Ha ezek számát elosztjuk az összes pontok, (pl. 100) számával, kapjuk a P[o] valószínűséget. A P[

m] valószínűség kiszámításához mindazon elemi események (pontok) valószínűségeit kell összeadni, amelyek pontosan m számú A, esemény közös részében vannak. (Bármilyent, esemény valószínűsége a benne foglalt elemi események valószínűségeinek összegével egyenlő.) 1.1. A Po valószínűség AP[o] valószínűség [(3) egyenlet] azt jelenti, mennyi annak a valószínűsége, hogy az Ai,A

2, ...,Ajv események egyike sem következik be. Először annak a valószínűségét számítjuk ki, hogy az A

hA

2, ...,An események közül legalább egy esemény bekövetkezik. Ennek valószínűsége: Р(Л,+Л

2 + ... +^) = 5,-S

2 + 5

3-...±5

W (5) A (3) formula bizonyítása (Poincaré 1912): Mindazon e elemi események valószínűségeit kell összeadni, amelyek legalább egy Ai halmazban benne vannak. Minden e elemi esemény valószínűségét pontosan egyszer vehetjük számításba (2. ábra). Legyen e olyan elemi esemény, amely pontosan n számú eseményben van benne az Ai, A

2, ...,AN események közül. Mivel az események indexelése tetszőleges, feltehetjük, hogy az adott e elemi esemény az A\,A

2,..., A

N halmazokban benne van, de nincs benne az A„+\,A

n+

2, ...,ЛлгЬеп. Kimutatjuk, hogy az e elemi esemény P{

e

) valószínűségét az (5) formula jobb oldalában egyszer vettük számításba. Az e elemi esemény n számú esemény közös részében van, ezért az (5) formulában r \ f\ í \ az S] tagban -szer, az S

2 tagban hozzájárulása az (5) összeghez: Ugyanis: n 2 V у -szer, az S3 tagban n 3 V j -szor szerepel stb. Tehát P(

e) / \ / \ / \ « 1 n n + —... ± 2 3 n V J \ z 0 = (1 — 1)" = Q |1"1

0 " 1П-1 1 + 2 V У Ebből: n n + 1 n V У Ezzel kimutattuk az (5) formula érvényességét, minden e elemi esemény valószínűségét — amely legalább egy A, eseményben előfordul — egyszer vettük számításba. (Az e elemi esemény P(

e) valószínűségének numerikus értéke nem játszik szerepet.)