Vízügyi Közlemények, 1995 (77. évfolyam)
2. füzet - Rátky István: A turbulens áramlás matematikai alapjai
188 Rátky István pontosságot, de ezekre az áramlásokra a sokkal egyszerűbb keveredési hossz-modellek is megfelelő eredményt adnak (Rocli 1984). Ezért az egy-egyenletű módszerek nem nagyon terjedtek el a gyakorlatban, és talán ezért sem, mert a két-egyenletű modellekhez szükséges plusz differenciálegyenlet numerikusan hasonló megoldást kíván, mint а к egyenlete - amit itt már úgy is alkalmaznunk kell -, tehát alig jelent többlet munkát (és gépidőt, memória kapacitást) egy pontosabb modell alkalmazása. 3.3. Két-egyenletű modellek Az egy-egyenletű modellnél legnagyobb hibafonás az L karakterisztikus hossz meghatározásában van. Fizikailag elemezve a főáramlás nagyléptékű örvényeit jellemző karakterisztikus hosszat, felismerhető annak a k-hoz hasonló transzportfolyamat szerinti változása. Önmagában csak a L-et leíró transzport-egyenlet felállítása nehéz. Általában az L és а к bizonyos hatványainak szorzatából képzett mennyiségre írják fel a ü'anszport differenciálegyenletet. Több modellt fejlesztettek ki a karakterisztikus hossz, pontosabban k m L" szorzat transzportjának leírására, például: kL, K 1/ 2/L, k/L 2 és k 3/ 2/L modellek (Rodi 1984). Launder és Spalding (1974) bizonyították, hogy a diffúziók gradienstípusú közelítése mellett a k 3/ 2/L szorzat esetén a legjobb az állandók mért értékkel való egyezése, és csak ekkor nem szükségesek külön konstansok a bearányosításhoz. Dimenzióanalízis alapján már ismert az (1) összefüggés megfelelő átalakításával, hogy p/2 z = c D~- (14) ahol c D tapasztalati állandó. Tehát a k 3/ 2/L üanszportegyenlet tulajdonképpen a tömegegységre vonatkoztatott turbulens energia-disszipáció transzport egyenlete. А к egyenlettel együtt az utóbbi időben ez a leginkább alkalmazott két-egyenletű modell, melyet k-e turbulencia modellnek neveznek. А k-e turbulencia modell alapja a (9)-( 12) alapegyenletek zárása. Ez a következő módon történik: - a Reynolds-feszültségek helyettesítése az (5) Boussinesq-féle összefüggéssel (Rátky 1995) - az örvény viszkozitás számítása a turbulens kinetikai energia és annak disszipációja függvényében a ( 13) és ( 14) egyenletek alapján к 2 к 2 = — = (15) - а К és e-ra egy-egy transzport differenciálegyenlet megadása. A zárás feltétele, hogy к és e-ra megadott differenciál-egyenlet már újabb ismeretleneket nem hozhatnak a rendszerbe. A k-e egyenletek a főáramlásbeli sebességek, к, e és azok gradiensei, valamint állandók között adják meg a függvénykapcsolatokat. a „k-egyénlet" (3) alapján definiált turbulens kinetikai energia fogalmát és meghatározását - a tér- és időbeli változását leíró transzportegyenletből - először 1942-ben
