Vízügyi Közlemények, 1995 (77. évfolyam)
2. füzet - Rátky István: A turbulens áramlás matematikai alapjai
A turbulens áramlás matematikai alapja 183 A „turbulens viszkozitás" az irodalomban nagyon sok néven szerepel: örvény-, eddy-, látszólagos viszkozitás, gomolygási nyúlósság, gomolygó mozgás cseretényezője, keveredés-, turbulens nyúlóssági tényező. Boussinesq 1877-ben használta először az örvényviszkozitás (turbulens viszkozitás) kifejezést. Feltételezte, hogy a turbulencia által keltett csúsztató-feszültség - felület és időegységre vonatkoztatott impulzustranszport - a lamináris áramláshoz hasonlóan a közepes sebesség-gradiensekkel arányos és az arányossági tényező az örvény-viszkozitási együttható. Általános áramlási körülmények közölt az ím. Boussinesq-féle örvényviszkozitási modell -Vi v; = v, Э V Э V,Э X; Э Xi V J У (5) alakú, ahol v az átlagolt közepes sebesség, az i, j alsó indexek 1 =x, 2 = yés3 = z koordináta irányokra utaló éllékeket vehetnek fel. A 8,. pedig a Kronccker delta. 2. Alapegyenletek A Navier-Stokes egyenletek a viszkózus kontinuumok legáltalánosabb mozgásegyenleteit adják meg. A levezetéseknél alkalmazott feltételezések olyan általánosak, hogy az egyenletek érvényesek mind lamináris, mind turbulens áramlásra. A NavierStokes-, a folytonossági-, az állapotegyenletek (a kontinuumok télfogata, nyomása és hőmérséklete közötti kapcsolatot adja meg), valamint a termodinamikai mérlegegyenlet olyan zárt rendszert alkot, amelyet ma már elvileg meg lehet oldani. A vízépítési gyakorlatban általában a vizsgált kontinuum összenyomhatatlan viszkózus folyadék, így eltekinthetünk az állajíot- és a temiodinamikai mérlegegyenletektől. Az impulzust és az anyagmegmaradást kifejező folytonossági egyenlet ekkor is zárt rendszert alkot, és elvileg -korrekt feladat kitűzés esetén - megoldható. A szóba jöhető numerikus megoldás a nagy számítógépkapacitás és gépidő igény miatt ma még gyakorlatilag kivitelezhetetlen feladat. Koordináta irányonként 10 3 + 10 4 számú hálózati pontot kellene felvenni, így minimum 10 9- 10' 2 nagyságrendű diszkretizációs pont volna szükséges, hogy az áramlási teret lefedjük három dimenzióban. Tehát az egyenletek megoldásához a ma meglévő számítógépeknél sokkal nagyobb memóriakapacitásra és számítási gyorsaságra lenne szükség. Szerencsére a mérnöki gyakorlatot még nem érdekli a turbulens áramlás ilyen pillanatnyi állapota. A tér egy adott pontjában időben és a tér egyes pontjai közölt véletlenszerűen és hirtelen változó (pl. főáramlási iránnyal ellentétes) pillanatnyi sebesség vagy nyomásértékek - rövid időtartamuk miatt - semmit nem mondanánk az áramlás egészére vonatkozóan. A gyakorlatilag hasznosítható jellemzők bizonyos időintervallumra átlagolt mennyiségek (közepes-sebessége, -nyomások, -koncentrációk stb.). A pillanatnyi jellemzők időbeli átlagolásával a Navier-Stokes-egyenletekből kapott egyenleteket 1895-ben Osbome-Reynolds vezette le, így ezeket Reynolds-egyenleteknek nevezik, amelyek:
