Vízügyi Közlemények, 1975 (57. évfolyam)
3. füzet - Dégen Imre: Költség-haszon elemzés matematikai módszerei a vízgazdálkodásban
310 Déaen Imre határozni tehát az X, (í=l,.. .11) értékek azon kombinációját, amelyek maximálják a Z-t. Mivel a felhasználható erőforrások (X-ek) nem állnak korlátlan mennyiségben rendelkezésre, szükséges, hogy az X, (i= 1.. .n) értékei ugyanakkor a korlátozó feltételeknek is eleget tegyenek. A korlátozó mérlegösszefüggéseket m számú egyenlettel kifejezve С г=Ф г(Х 1 г X 2, ... X,., ... X„) (f= 1,2,.. ,,m) (2) alakban írhatók fel, ahol C r értékei állandóak. Ha korlátozó feltétel nem szerepelne, akkor a szélsőérték számítás szükséges feltételeként, a Z függvény teljes differenciálját kell nullával egyenlővé tenni, azaz dZ dZ dZ dZ= DXJ + dX„+ ...+ dX n = 0. дХу dX 2 àX n Ez pedig akkor teljesül, ha —- = 0; — = 0; ... ^ = 0.1 дХ 1 j3X 2 дХ п Ha korlátozó feltételek szerepelnek, akkor a „parciális differenciálhányados zérussal egyenlő" feltételen kívül a korlátozó feltételeket kifejező egyenletnek is eleget kell tenni, ami azt jelenti, hogy a problémában több egyenlet szerepel mint ismeretlen, ezért túldeterminált. Ё nehézségek elkerülése végett bevezetünk néhány újabb változót, mégpedig ugyanannyit, mint ahány korlátozó feltételünk van, hogy ily módon megnöveljük az ismeretlenek számát, és ugyanannyi ismeretlenünk legyen, mint ahány parciális differenciálhányados-egyenletünk és korlátozó feltételi egyenletünk összesen van. Ezeket a fiktív ismeretleneket Lagrange féle szorzónak nevezzük (jelölésük : Я). Az egyenletrendszer a Lagranqe-fcle szorzók bevezetésével szerkesztett Lagrange-függvénynek nevezett segédfüggvény szerkesztésével oldható meg. A Lagrange-féle szorzók módszerével való megoldás abból áll, hogy egy Lagrange-függvénynek nevezett segédfüggvényt vezetünk be, amelynek első tagja az a függvény, amelynek szélső értékét meg kell határozni (Z), a második tag pedig a korlátozó feltételek bal oldala és jobb oldala közötti különbségek súlyozott összege. m L(X t, X 2, • • •, Xn ( Aj, A 2 » • • • A m) = f(X j , X... X n) — 2 Ar[®r(X1 > X 2, ... X n)—C r] r= 1 (3) A kifejezés jobb oldalán szereplő szumma zérussal egyenlő, ha a (2) mérlegfeltételek teljesülnek. Ez azt jelenti, hogy a lehetséges megoldások tartományában a Lagrange-függvény azonos az f(Xj, X,, ... X n) célfüggvénnyel. A Lagrange-függvény szélső értéke létezésének szükséges feltétele az, hogy parciális deriváltjai zérussal egyenlők. £-0 (/ = 1,2, ...n) (4) О Л-i A programozási feladatot tehát differenciálszámítás segítségével megoldhatjuk.
