Vízügyi Közlemények, 1973 (55. évfolyam)

4. füzet - Rövidebb közlemények és beszámolók

Hidrológiai rendszerek modellezése 513 rendszer i állapotban van, ha vízgyűjtőn tározódott vízmennyiség s, volt és az előző napon x

l nagyságú csapadékot mértünk. Minden összetartozó t-1 időpontbeli csapadék, t időpontbeli lározott vízmennyiség a vízgyűjtő bemeneti oldalának egy-egy állapotát jellemzi. Jelöljük i-vel a rendszernek azt az állapotát, hogy A, és It, esemény következik be egyidejűleg és jelöljük 7-vel azt az állapotot, ha A„ és B

2 esemény következik be, akkor meghatározhatjuk az i állapotból a j állapotba való átmenet valószínűségét, Pij~

t

: Pij(í) = P(A

2, B

21Aj, В

l) = P(X, = x

2, S,

+

1 = s

2\X

t1 = x

v Sf = Sj), (8) ami szavakban azt jelenti, hogy py(/) a valószínűsége a í időpontban az i állapotból a j állapotba való átmenetnek, tehát annak a valószínűsége, hogy A

2 és B

2 esemény együttesen bekövetkezik, feltéve, hogy előtte Aj és B, esemény következett be. A folytonossági egyenlet lehetőséget ad arra, hogy S(

+j-et Y

í

; Xt és S/-vel helyettesítsük, {St+

1 - St = Xt - Y*), amit majd kihasználunk. írjuk fel először A

2, B

2 események együttes előfordulási valószínűségét szorzat alakban a feltételeket megtartva : Pi

jlt) = P(A

2, B

21 Aj , Bj) = P(A

21 Aj , В,). P(B

21 A„ Bj, A

2). (9a) A B

2 esemény, a St+, = s

2 esemény, Xt - Yt + St írható a bal oldalra. És Y( kifejezhető, ami a 0 esemény bekövetkezésével azonos, így (9a) második részében B

2 helyére С esemény írható. Ezenkívül P(A

21 A„ B

t) feltételes valószínűség nyilvánvalóan megegyezik a P(A

2|A,) feltételes valószínűséggel, mivel a csapadék (A, esemény) nem függ a vízgyűjtőn tárolt vízmennyiségtől (Bj esemény), valamint JP(B

2|Aj, Bj, A

2) feltételes valószínűség С esemény bevitele után P(C|Aj, B„ A

2) feltételes valószínűséggel egyezik meg, ami С és A

2 esemény függetlensége folytán P(C|Aj, Bj)-vel helyettesíthető. A t időpontban lefolyó vízmennyiség nem függ a t időpontban leeső csapadéktól — elég finom lépésközt véve. Ennek az eszmefuttatásnak megfelelően (9a) az alábbiak szerint alakul: P,

7(0 = P(A

2|A

1, Bj)• P(B

21Aj, Bj, Aj) = P(A

21Aj)• P(CIAj, Bj), (9b) de mivel P(A

21 Aj) = <7f-vel és P(C|A,, B,) = /)

(-vel (5) és (7) képletek szerint, ezért az állapot—átmenet valószínűség számítható: gt és ht szorzataként: Pij(t) = gt-h

t. (9c) A lefolyó vízmennyiség egyes értékeinek előfordulási valószínűségeit megkapjuk, lia a P(CIAjBj) feltételes valószínűséget az összes lehetséges A

t és Bj eseménypárosítások szerint: AjC

1), Aj(

2), . . . , AjCO, . . . , Aj(") és B,(

J), B,(

2), .. ., В/О, ..., BjC") összegezzük, súlyozva a P(AjC

1), Bj(0) előfordulási valószínűséggel : n m P(C) = P(Y, = y)= 2 ZRÍ,

СI AjC), Bj(0).P(Aj("), B(0), (10a) vagy más alkalmazott jelöléssel: P(Yt = y)= = 4 (10b) Xl, Si Kifejezhetjük az íj nagyságú lefolyó vízmennyiség valószínűségét az állapot átmenetvalószínűség Pit(t) ismeretében is (9c), valamint annak figyelembevételével, hogy gt Aj és A

2 események minden lehetséges előfordulásai szerinti összegzésre 1-et ad. Az, hogy valamilyen csapadék „párosítás" Aj-A, bekövetkezik, az a teljes bizonyossággal azonos. Tehát számítható a lefolyó vízmennyiség valószínűsége = 2 P,y(f).P(X,-! = *!, St =Sj) (11) Xl,*«.Sl összefüggéssel is.